1997　名古屋市立大　中期薬学部MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とする．ここで点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{DF}$と$\mathrm{EG}$が垂直となるように点$\mathrm{C}$を動かすとき，点$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．

【２】　関数$f(x)=1-x^2$により定まる曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}\mathrm{Q}(2a,f(2a))\text{，}\text{（}a>0\text{）}$を考える．$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とし，$\angle \mathrm{PRQ}=\theta$とするとき，

(1)　$\cos \theta$を$a$で表せ．

(2)　$a>0$のとき，$\cos \theta$の最大値を求めよ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\lim }\cos \theta$を求めよ．

(4)　$t=0$から$t=1$までの間に点$(x,y)=({\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}},f({\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}}\left)\right)$が動いた道のりを求めよ．

【３】　図のような$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{F}$の$6$つの交差点からなる経路において，$\mathrm{A}$から出発して何回かの移動で$\mathrm{B}$または$\mathrm{C}$に到達したら停止するゲームがある．ここで$1$回の移動とは，$1$つの交差点から斜め下方または横に隣接する交差点まで進むこととし，斜め上方に進むことはできない．また移動可能な方向が$2$つある交差点では${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつの確率で，$3$つある交差点では${\displaystyle \frac{1}{3}}$ずつの確率で進む方向が決まる．

(1)　$3$回以下の移動で$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．

(2)　$n$回以下の移動で$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．