1997　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　$1$次関数$f(x)=px+q\text{（}p>0\text{）}$が

${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=0\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx=1$

を満たすとき，$f(x)=\boxed{\text{(ア)}}$である．この$f(x)$に対し，

${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1-x^2}dx=\boxed{\text{(イ)}}\text{，}$

${\displaystyle {\int }_0^1}x\sqrt{1-x^2}dx=\boxed{\text{(ウ)}}$

を用いて，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{\sqrt{1-x^2}-(af(x)+b)\}}^{2}dx$

の値が最小となる定数$a\text{，}b$を求めると

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}\times (\boxed{\text{(エ)}})\text{，}b=\boxed{\text{(オ)}}$

となる．

【２】　$xy$平面上において，右図に示すように円

$C_1:x^2+y^2=1$

に内接して点$\mathrm{P}(1,0)$を頂点とする二等辺三角形$\mathrm{PQR}\text{（}\mathrm{PQ}=\mathrm{PR}\text{）}$と，この二等辺三角形$\mathrm{PQR}$に内接する円

$C_2:{(x-a)}^2+y^2=r^2\text{，}r>0\text{，}-1<a<1$

を考え，二等辺三角形$\mathrm{PQR}$と円$C_2$の接点のうち$y$座標が正となる点を$\mathrm{D}\text{，}$点$(a,0)$を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{QR}$と円$C_2$の接点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{PD}$と線分$\mathrm{FQ}$の長さを$r$と$a$を用いて表すと，$\mathrm{PD}=\boxed{\text{(カ)}}\text{，}\mathrm{FQ}=\boxed{\text{(キ)}}$となり，$▵\mathrm{PDE}$と$▵\mathrm{PFQ}$が相似であることに着目して，$r$を$a$で表すと，$r=\boxed{\text{(ク)}}$となる．また，$▵\mathrm{PDE}$の面積を$a$の関数として$S(a)$で表すと，

$S(a)={\displaystyle \frac{1}{8}}{(1-a)}^2(1+a)\sqrt{\boxed{\text{(ケ)}}}$

となる．さらに，${\displaystyle \frac{d}{da}}{\{S(a)\}}^2=-{\displaystyle \frac{1}{8}}{(1-a)}^4(1+a)(\boxed{\text{(コ)}})$となるので，$▵\mathrm{PQDE}$の面積$S(a)$が最大となるのは$a=\boxed{\text{(サ)}}$のときである．

【３】　$m$を自然数とする．区間$[0,m)$にごく小さな砂粒を$n$個でたらめに落とす実験を行った．どの砂粒についても，$[0,1)\text{，}[1,2)\text{，}\cdots \text{，}[m-1,m)$のいずれの区間に落ちるかは独立で同程度に確からしいとすれば，区間$[0,1)$に落ちる確率は${\displaystyle \frac{1}{m}}$である．このとき，$n$個のうちちょうど$k$個の砂粒が区間$[0,1)$に落ちる確率は$\boxed{\text{(シ)}}\text{，}$区間$[0,1)$に落ちる砂粒の個数の期待値は$\boxed{\text{(ス)}}$となる．したがって，この期待値が$1$となるのは$m=\boxed{\text{(セ)}}$のときである．このように$m$をとり，等式

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{k!{}_{n}C_k}{n^k}}=\boxed{\text{(ソ)}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e^{-1}$

を用いれば，$k$を固定して$n$を限りなく大きくすると，区間$[0,1)$にちょうど$k$個の砂粒が落ちる確率は$\boxed{\text{(タ)}}$に収束することがわかる．

（ただし，$[a,b)$は区間$\{x|a\leqq x<b\}$を表す．）

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$2$次正方行列で，ある$0$でない実数$u$に対して

$A\left(\begin{array}{cc}1& u\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ u& 1\end{array}\right)A$

を満たしているとする．

(1)　$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を$2$次単位行列とすると

$(A-(a+d)I)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ u& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& u\\ 0& 1\end{array}\right)(A-(a+d)I)$

が成り立つことを示せ．

(2)　さらに，$2$次正方行列$B$も

$B\left(\begin{array}{cc}1& u\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ u& 1\end{array}\right)B$

を満たしているならば，

$(BA-(a+d)B)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ u& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ u& 1\end{array}\right)(BA-(a+d)B)$

が成り立つことを示せ．

【５】(1)　$a$を自然数とすると，$a^3$を$3$で割った余りと，$a$を$3$で割った余りは等しいことを示せ．

(2)　$r\text{，}s\text{，}t$を自然数とする．$r-s$が$3^t$で割り切れるなら，$r^3-s^3$は$3^{t+1}$で割り切れることを示せ．

(3)　$a$が自然数のとき，$b_1=a\text{，}{b}_2={b_1}^3\text{，}{b}_3={b_2}^3\text{，}\cdots \text{，}{b}_{n+1}={b_n}^3$とすると，$b_{+1}$を$3^n$で割った余りと$b_n$を$3^n$で割った余りが等しいことを，$n$に関する帰納法を使って示せ．