1997　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,2,0)\text{，}\mathrm{C}(2,1,3)$がある．ベクトル$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,1)$がベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直なとき，

$u_1=\boxed{\text{あ}}\text{，}{u}_2=\boxed{\text{い}}$

である．ベクトル$\overrightarrow{v}$をベクトル$\overrightarrow{u}$と同じ向きの単位ベクトルとすると，

$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{う}}}}}\overrightarrow{u}$

である．点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に引いた垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めると，

$\mathrm{OH}\text{の長さ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{え}}}{\sqrt{\boxed{\text{う}}}}}$

である．

【２】　半径$1$の円がある．その円に内接する長方形の面積の最大値を$M\text{，}$円の面積を$C$とすると，

${\displaystyle \frac{M}{C}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{お}}}{\pi }}$

である．

【３】　$a$を正数とする．放物線$y=a{x}^2+bx+c$は$2$点$(1,1)\text{，}(3,2)$を通るという．このとき$b\text{，}c$を$a$を用いて表すと，

$b={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{か}}}}+\boxed{\text{き}}a\text{，}c={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{く}}}}+\boxed{\text{け}}a$

である．この放物線と$2$点$(1,1)\text{，}(3,2)$を通る直線で囲まれた図形の面積が$4$になるように$a$を定めると，

$a=\boxed{\text{こ}}$

である．

【４】　ある国ではこの数年間に石油の消費量が$1$年に$25\mathrm{\%}$ずつ増加している．このままの状態で石油の消費が増加しつづけると，$3$年後にはもとの消費量の約$\boxed{\text{さ}}$倍になる．また，石油の消費量が初めて現在の$10$倍以上になるのは$\boxed{\text{し}}$年後である．ただし${\log }_{10}5=0.6990\text{，}\boxed{\text{さ}}\text{，}\boxed{\text{し}}$は自然数とする．

【５】　$1$から$12$までの自然数を次のように並べて数を作ると$15$桁の数になる．また，この数に数字$1$は$5$回現れる．

$123456789101112$

(1)　$1$から初めて$3$桁以下の自然数をすべて並べてできる数

$1234\cdots 997998999$

は$\boxed{\text{す}}$桁の数である．

(2)　$1$から始めて$n$桁以下の自然数をすべて並べてできる数を$A_n$とする．このとき$A_n$は

${\displaystyle \frac{(\boxed{\text{せ}}n+\boxed{\text{そ}}){10}^n+1}{\boxed{\text{た}}}}$桁の数

である．また，数$A_n$には数字$1$が

$({\displaystyle \frac{n}{\boxed{\text{ち}}}}+\boxed{\text{つ}}){10}^n$回

現れる．

【６】　$|x|\leqq 1\text{，}1\leqq |ax+{\displaystyle \frac{1}{5}}|$を満たす$x$が存在するための$a$に関する必要十分条件は

$a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{て}}}{5}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{と}}}{5}}\leqq a$

である．また，どんな実数$b$に対しても$|x|\leqq 1\text{，}1\leqq |ax+b|$を満たす$x$が存在するための$a$に関する必要十分条件は

$a\leqq \boxed{\text{な}}$または$\boxed{\text{に}}\leqq a$

である．

【７】　$a$を$0<a<10$を満たす数とする．$a$に対して，$D(a)$を$3$直線

$y=ax+a$

$y=-ax-a$

$x=10-a$

で囲まれた三角形の面積とする．$D(a)$の最大値と$D(a)$が最大になるときの$a$の値を求めよ．

【８】　$a$を正数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^3-3a{x}^2+4a=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

(2)　方程式$8^x-3a{4}^x+4a=0$の異なる実数解の個数を調べよ．