1997　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の整数とする．整式

$A(x)=x^3-3(a^2+16)x+3a^2{b}^2-3a^2+2c^3-54$

を，整式$B(x)=x^2-2cx+c^2$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R(x)=rx+s$とする．

(1)　$r$と$s$を求めると

$r=-\boxed{\text{ア}}{a}^{\boxed{\text{イ}}}+\boxed{\text{ウ}}{c}^{\boxed{\text{エ}}}-\boxed{\text{オ}}$

$s=\boxed{\text{カ}}{a}^{\boxed{\text{キ}}}{b}^{\boxed{\text{ク}}}-\boxed{\text{ケ}}{a}^{\boxed{\text{コ}}}-\boxed{\text{サ}}$

である．

(2)　$A(x)$は$B(x)$で割り切れないことを，背理法を用いて証明せよ．

【２】　点$\mathrm{A}(p,q)$が円${(x-1)}^2+y^2=1$上を動くとき，次の式

$k=3p^2+8p+3q^2+12q+10$

で定義される$k$の最大値は，$\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$であり，また，最小値は$\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は次の条件をみたしている．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{4}}{a}_n-{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=0\text{，}{b}_{n+1}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{4}}{b}_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，一般項$a_n\text{，}{b}_n$は

$a_n=\boxed{\text{ア}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}\times 2^n-\boxed{\text{ウ}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$

$b_n=\boxed{\text{エ}}-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\times 2^n-\boxed{\text{カ}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$

となる．

【４】　$m$を自然数とし，$a=m+1\text{，}b=2^{a+1}$とする．このとき，$b^a<2^b$が成り立つことを示したい．以下の証明を完成せよ．

証明）　$b^a$と$2^b$は，$m$についての式

$p(m)=m^{\boxed{\text{ア}}}+\boxed{\text{イ}}m+\boxed{\text{ウ}}$

$q(m)=2^{\boxed{\text{エ}}m+\boxed{\text{オ}}}$

を用いて，$b^a=2^{p(m)}\text{，}{2}^b=2^{q(m)}$と表せる．したがって，$b^a<2^b$を示すためには，

$p(m)<q(m)\cdots \text{①}$

を示せばよい．そこで，$m$についての数学的帰納法を用いて，$\text{①}$を証明する．

〔１〕　$m=1$のとき，

$p(1)=\boxed{\text{カ}}\text{，}q(1)=\boxed{\text{キ}}$

であるから，$\text{①}$が成り立つ．

〔２〕　$m=k$のとき，$\text{①}\text{，}$すなわち，

$p(k)<q(k)\cdots \text{②}$

が成り立つと仮定する．この仮定をつかって，$m=k+1$のときにも，

$p(k+1)<q(k+1)\cdots \text{③}$

が成り立つことを示せばよい．ここで，

$q(k+1)=\boxed{\text{ク}}q(k)$

である．したがって，$\text{②}$より，

$2p(k)<q(k+1)$

をうる．ところで，

$\boxed{\text{ケ}}\leqq k$

であるから，

$2p(k)-p(k+1)=(k+\boxed{\text{コ}})(k-\boxed{\text{サ}})\geqq 0$

となる．すなわち，

$p(k+1)\leqq 2p(k)<q(k+1)$

が成り立つ．よって，$\text{③}$が示された．

〔１〕，〔２〕から，すべての自然数$m$について，$\text{①}$が成り立つ．したがって，

$2^{p(m)}<2^{q(m)}$

が成り立つ．ゆえに，$b^a<2^b$が証明された．

【５】　放物線$C:y=f(x)=x^2+3x+5$上に$2$点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}\mathrm{Q}(b,f(b))$をとる．ただし，$a<b$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}(x_0,y_0)$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を，$y=t(x)$とおく．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めると，

$x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}}b)$

$y_0={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ウ}}ab+\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}}b+\boxed{\text{カ}})$

である．

とくに，$\angle \mathrm{QRP}=45\mathrm{°}$のとき，$a$と$b$の関係式を求めると，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}(a-b)}{1+(\boxed{\text{ク}}a+\boxed{\text{ケ}})(\boxed{\text{コ}}b+\boxed{\text{サ}})}}=1$

である．

(2)　$g(x)=f(x)-t(x)$とおく．$h(x)$を次の$2$つの条件

(ⅰ)　$h^{\prime }(x)=g(x)$

(ⅱ)　$h(a)+h(b)=0$

をみたす関数とする．このとき，

$h(a)h(b)=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{シ}}}}{(\boxed{\text{ス}}a-\boxed{\text{セ}}b)}^{\boxed{\text{ソ}}}$

である．