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【3】 問(1),(2)では,空欄に適当な式を記入して文章を完成しなさい.解答は所定の解答欄の空欄に記入すること.
箱がつと硬貨がつある.これらの硬貨は,硬貨投げをすると表が出る確率がともにである.従って裏が出る確率はともにである.ただし,とする.
この箱にこれらの個の硬貨が入っているときは,この箱は状態にあると言い,個の硬貨が入っているときは状態にあると言い,硬貨が入っていないときは状態にあると言うことにする.箱がこれらのどれかの状態にあるとき,中に硬貨があれば,あるだけ取り出して硬貨投げをする.投げた硬貨のうち裏が出た硬貨は取り除き,表が出た硬貨は箱に戻すという操作を行なう.次の問に答えなさい.
(1) に対して,箱が状態にある時この操作を一回行なって箱が状態に移る確率をとする.次の値をとを用いて表しなさい.(右図参照)
(2) 箱に個の硬貨がある状態からこの操作を繰り返し,箱の中に硬貨がなくなるまで続ける.回の操作の後に箱が空になる確率をで表す.()をを用いて表しなさい.
(3) また,一般のに対してをを用いて表しなさい.
(4) 次の量をを用いて表しなさい.
(5) この量はどのようなものを表すと考えられるか簡単に述べなさい.
【4】 次の文章の空欄に適当な数,式または記号を記入して文章を完成しなさい.解答は所定の解答欄の空欄に記入すること.
(1) でない数と,で定義された恒等的にはでない連続関数との間
にが成り立っている.このとき
が成り立つ.ただし,ここでは定数で,を用いた定積分で表すと,
である.
(2) は次の連立一次方程式の解である.
(3) ところで,を未知数とする連立一次方程式
が以外の解を持つと,の間には次の関係式が成り立たねばならない.
(4) ここで,問(3)の事実を考慮すると,問(2)のは
または
のつの値しかとることができないことが分かる.ただし,とする.
(5) 関数はを任意定数として,
のときは,
のときは,
でなければならない.