1997　上智大学　地球法，経営MathJax

【１】(1)　初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=n^3+3n^2+2n$で表される数列の一般項$a_n$は$a_n=\boxed{\text{ア}}n(n+\boxed{\text{イ}})$である．このとき${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\left({\displaystyle \frac{n}{n+\boxed{\text{オ}}}}\right)$である．

【１】(2)　$i$を虚数単位とする．

${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}i$

${\left({\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}}\right)}^3=\boxed{\text{コ}}i$

${\left({\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}}\right)}^{1997}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}i$

【１】(3)　$a\ne b$とする．$2$直線$y=ax\text{，}y=bx-b$の交点$\mathrm{P}$の$y$座標は正と仮定する．原点を$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)$とする．

　$\angle \mathrm{OPA}=45\mathrm{°}$ならば${\displaystyle \frac{1+\boxed{\text{ソ}}a}{1+\boxed{\text{タ}}a}}$であり，点$\mathrm{P}$は中心が$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})\text{，}$半径が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$の円周上にある．

【２】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(\sqrt{3},1)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$に対して，次の式をみたす点$\mathrm{P}$の存在する範囲を$L$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$ただし$|s|\leqq 1\text{，}|t|\leqq 1$とする．

(1)　$L$の点の$y$座標の最大値は$\boxed{\text{ネ}}$であり，$x$座標の最小値は$\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

(2)　$L$の面積は三角形$\mathrm{OAB}$の面積の$\boxed{\text{ヒ}}$倍である．

(3)　点$(x,y)$が$L$の中を動くとき，$x-2y$の最大値は$\boxed{\text{フ}}+\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

(4)　$2$点$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{S}$が$L$の中を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{TS}}\right|$の最大値は$\boxed{\text{マ}}\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}$である．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とする．$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は，次の$3$つの条件(C1)，(C2)，(C3)をみたすとする．

(C1)　$f(x)$は$x=1$で極値をとる．

(C2)　$f(x)$の導関数$y=f^{\prime }(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積は$32$である．

(C3)　$3$次方程式$f(x)=0$は，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつ．

(1)　条件(C1)，(C2)より，$2$次方程式$f^{\prime }(x)=0$は$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$（ただし$\alpha <\beta$）をもち，$\alpha =\boxed{\text{ム}}\text{，}\beta =\boxed{\text{メ}}$であるかまたは$\alpha =\boxed{\text{モ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ヤ}}$である．ここで$\boxed{\text{ム}}<\boxed{\text{モ}}$とする．

(2)　さらに条件(C3)を考えれば，このような$3$次関数は全部で$\boxed{\text{ユ}}$個ある．それらのうちで，$c$の値が最大になるものについては，

$a=\boxed{\text{ヨ}}\text{，}b=\boxed{\text{ラ}}\text{，}c=\boxed{\text{リ}}$

である．