1997　上智大学　文，法学部MathJax

【１】　選択肢(α)，(β)，(γ)，(δ)から$1$つ選んで，以下の命題を完成させよ．ただし$x\text{，}y$は実数とする．

(1)　$x\text{，}y$が共に無理数であることは，$xy$が無理数であるための$\boxed{\text{ア}}$．

(2)　$x\text{，}y$の少なくとも一方が無理数であることは，$xy$が無理数であるための$\boxed{\text{イ}}$．

選択肢

(α)　必要条件ではあるが，十分条件ではない

(β)　十分条件ではあるが，必要条件ではない

(γ)　必要十分条件である

(δ)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　不等式

$y\geqq x^2-2x-1$

をみたす実数の組$(x,y)$の全体の集合を$A$とする．このとき選択肢(T)，(F)より$1$つ選んで以下の命題を完成させよ．

(1)　『任意の$x$に対して，$(x,y)$が$A$の要素となる$y$が存在する』は$\boxed{\text{ウ}}$の命題である．

(2)　『任意の$y$に対して，$(x,y)$が$A$の要素となる$x$が存在する』は$\boxed{\text{エ}}$の命題である．

選択肢

• (T)　真
• (F)　偽

【３】(1)　すべての定数$a$に対して，$2$つの放物線$y=x^2-ax+2a-b-13\text{，}y=x^2+2ax+b-7$が共に$x$軸と共有点を持つための必要十分条件は

$\boxed{\text{オ}}\leqq b\leqq \boxed{\text{カ}}$

である．

【３】(2)　$3$辺の長さが$10\text{，}12\text{，}14$である三角形$\mathrm{ABC}$と，$3$辺の長さが$11\text{，}12\text{，}13$である三角形$\mathrm{DEF}$とを考える．このとき$\angle A\text{，}\angle B\text{，}\angle C\text{，}\angle D\text{，}\angle E\text{，}\angle F$のなかで最小の角度を$\alpha \text{，}$最大の角度を$\beta$とするとき，

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}\cos \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

【３】(3)　等式

において，$\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}=0$となるように定数$\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{ソ}}$を決めよ．

【４】　座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(c,d)$に対して，$\alpha (\mathrm{P},\mathrm{Q})$を

$\alpha (\mathrm{P},\mathrm{Q})=|a-c|+|b-d|$

と定める．このとき，次の(1)，(2)を完成させよ．ただし$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)　点$\mathrm{A}(2,6)$に対して，点$\mathrm{B}(1,\boxed{\text{タ}})$は$\alpha (\mathrm{O},\mathrm{B})=\alpha (\mathrm{B},\mathrm{A})$をみたす．

　一般に$\alpha (\mathrm{O},\mathrm{P})=\alpha (\mathrm{P},\mathrm{A})$をみたす点$\mathrm{P}(x,y)$は

$\begin{array}{lll}x\leqq \boxed{\text{チ}}& \text{のとき}& y=\boxed{\text{ツ}}\\ \boxed{\text{チ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{テ}}& \text{のとき}& y=\boxed{\text{ト}}x+\boxed{\text{ナ}}\\ \boxed{\text{テ}}\leqq x& \text{のとき}& y=\boxed{\text{ニ}}\end{array}$

と表される点である．

(2)　$d=c^2+2$をみたす点$\mathrm{Q}(c,d)$に対して，$\alpha (\mathrm{O},\mathrm{R})=\alpha (\mathrm{R},\mathrm{Q})$をみたす点$\mathrm{R}$全体の集合を${\mathrm{L}}_c$とする．『ある$c\geqq 0$に対して$(x,y)$が${\mathrm{L}}_c$に属する』ための必要十分条件は

$\begin{array}{lll}x\leqq \boxed{\text{ヌ}}& \text{のとき}& y\geqq \boxed{\text{ネ}}x+\boxed{\text{ノ}}\\ \boxed{\text{ヌ}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}& \text{のとき}& y\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}x+\boxed{\text{ミ}}\\ {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\leqq x& \text{のとき}& y\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}\end{array}$

である．