1997　上智大学　法(法律)学部MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とし，$f(x)=ax+b$とおく．$a\text{，}b$についての次の$2$つの条件をそれぞれ$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}$とする．

$\mathrm{p}:y>3$をみたすある実数$y$が存在して，$y=f(0)$かつ$y=f(1)$となる．

$\mathrm{q}:y_1>3$をみたすある実数$y_1$が存在して，$y_1=f(0)$となり，$y_2>3$をみたすある実数$y_2$が存在して，$y_2=f(1)$となる．

　選択肢(α)，(β)，(γ)，(δ)から$1$つ選んで，以下の命題を完成させよ．

(1)　$\mathrm{q}$は$\mathrm{p}$の$\boxed{\text{ア}}$．

(2)　$b>5$であることは$\mathrm{p}$の$\boxed{\text{イ}}$．

(3)　$a=0$または$b>3$であることは$\mathrm{p}$の$\boxed{\text{ウ}}$．

(4)　$-a+b>2$かつ$a+b>4$であることは$\mathrm{q}$の$\boxed{\text{エ}}$．

選択肢

(α)　必要条件ではあるが，十分条件ではない

(β)　十分条件ではあるが，必要条件ではない

(γ)　必要十分条件である

(δ)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　$a\text{，}b$を実数とする．

(1)　$f(x)=x^2-2ax+b$とおく．$y=f(x)$のグラフの頂点が，放物線$y=x^2-2x$上にあるための必要十分条件は

$b=\boxed{\text{オ}}{a}^2+\boxed{\text{カ}}a+\boxed{\text{キ}}\cdots \text{①}$

である．$a\text{，}b$が条件$\text{①}$をみたすような$2$次関数$y=f(x)$のグラフ上に，点$(c,d)$があるための必要充分条件は

$d\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{c}^2+\boxed{\text{コ}}c+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

(2)　$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は実数の解をもち，解はすべて$-2\leqq x\leqq 3$をみたす整数とする．このような$2$次方程式を与える実数の組$(a,b)$は全部で$\boxed{\text{ス}}$個ある．それらのうちで，$b$の最大値は$\boxed{\text{セ}}$最小値は$\boxed{\text{ソ}}$であり，$2a+b$の最大値は$\boxed{\text{タ}}$最小値は$\boxed{\text{チ}}$である．

【３】(1)　$▵\mathrm{ABC}$は半径$2$の円に内接し，辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さはそれぞれ$1\text{，}\sqrt{10}$である．このとき$\sin C={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$である．ただし$\sqrt{\boxed{\text{ト}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$とする．辺$\mathrm{BC}$の長さが${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

【３】(2)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

$10{\cos }^2\theta -24\sin \theta \cos \theta -5=0$

のとき，$\tan \theta =\boxed{\text{ヒ}}$または$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ヒ}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$とする．

【４】(1)　${\{(x+1)(x-2)(x^2-x+2)\}}^2$を$x^3+1$で割った余りは

$\boxed{\text{ホ}}{x}^2+\boxed{\text{マ}}x+\boxed{\text{ミ}}$

である．

(2)　整数を係数とする$x$の整式$A$を，$x^3+x^2+x+1$で割ると余りは$-3x^2-x+2\text{，}{x}^2+2x+3$で割ると余りは$5x+3$であるという．このような$A$の中で，次数が最小のものは

$\boxed{\text{ム}}{x}^4+\boxed{\text{メ}}{x}^3+\boxed{\text{モ}}{x}^2+\boxed{\text{ヤ}}x+\boxed{\text{ユ}}$

である．