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1997-13363-0601
1997 上智大学 経済(経済)学部
易□ 並□ 難□
【1】 放物線 y= 1 4⁢ x 2 上の異なる 2 点 P , Q における接線の交点を R とする.
(1) P ,Q の x 座標をそれぞれ a , b とするとき R の座標は
( ア イ ⁢ a+ ウ エ ⁢ b, オ カ ⁢ a⁢ b) である.
(2) ∠PRQ=90 ° をみたしながら P , Q が放物線 y= 14 ⁢ x2 上を動くとき, R は直線 キ ⁢ x+ y= ク 上を動く.
1997-13363-0602
【2】 r を定数とする.半径 r の球に内接する 4 角錐 PABCD を K で表す.ただし,底面の 4 辺形 ABCD は正方形とし,かつ頂点 P からでる K の 4 つの辺の長さはたがいに等しいとする. K の高さを x , 正方形 ABCD の 1 辺の長さを 2 ⁢y とする.
このとき
ケ ⁢ x2+ コ ⁢ y2= 2⁢r⁢ x
である. K の体積 V は次で表される.
V= サ シ ⁢ ( ス ⁢ r⁢x2 -x3 )
よって, x= セ ソ ⁢ r のとき V は最大になる.
1997-13363-0603
【3】 関数 y= x3- 3⁢x 2+3⁢ a⁢x について以下の問に答えよ.
(1) y が極値をもつような定数 a の値の範囲は a< タ である.
(2) 定数 a が(1)の範囲で変化するとき,極小値を与える点 x 0 が存在する範囲は x0> チ である.
(3) x>0 の範囲に極大値をとる点,極小値をとる点が共に存在するような定数 a の値の範囲は ツ < a< テ である.
(4) k を任意の定数とする. x>k の範囲に極小値をとる点が存在するような定数 a の値の範囲は
k≦ ト のとき a< ナ
k≧ ト のとき a< ニ ⁢ k2+ ヌ ⁢ k
である.
1997-13363-0604
【4】 n を 1 以上の整数とする.
(1) x+y≦ n, x≧0 ,y≧0 をみたす整数の組 (x ,y) は,全部で 12⁢ ( ネ ⁢ n2 + ノ ⁢ n+ ハ ) 個ある.
(2) x+y+ z≦n ,x≧ 0 ,y≧0 , z≧0 をみたす整数の組 ( x,y, z) は,全部で 16⁢ ( ヒ ⁢ n 3+ フ ⁢ n2+ ヘ ⁢ n+ ホ ) 個ある.