1997 上智大学 経済(経済)

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1997 上智大学 経済(経済)学部

易□ 並□ 難□

【1】 放物線 y= 1 4 x 2 上の異なる 2 P Q における接線の交点を R とする.

(1)  P Q x 座標をそれぞれ a b とするとき R の座標は

( a+ b, a b) である.

(2)  PRQ=90 ° をみたしながら P Q が放物線 y= 14 x2 上を動くとき, R は直線 x+ y= 上を動く.

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易□ 並□ 難□

【2】  r を定数とする.半径 r の球に内接する 4 角錐 PABCD K で表す.ただし,底面の 4 辺形 ABCD は正方形とし,かつ頂点 P からでる K 4 つの辺の長さはたがいに等しいとする. K の高さを x 正方形 ABCD 1 辺の長さを 2 y とする.

このとき

x2+ y2= 2r x

である. K の体積 V は次で表される.

V= ( rx2 -x3 )

よって, x= r のとき V は最大になる.

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易□ 並□ 難□

【3】 関数 y= x3- 3x 2+3 ax について以下の問に答えよ.

(1)  y が極値をもつような定数 a の値の範囲は a< である.

(2) 定数 a が(1)の範囲で変化するとき,極小値を与える点 x 0 が存在する範囲は x0> である.

(3)  x>0 の範囲に極大値をとる点,極小値をとる点が共に存在するような定数 a の値の範囲は < a< である.

(4)  k を任意の定数とする. x>k の範囲に極小値をとる点が存在するような定数 a の値の範囲は

k のとき a<

k のとき a< k2+ k

である.

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易□ 並□ 難□

【4】  n 1 以上の整数とする.

(1)  x+y n x0 y0 をみたす整数の組 (x ,y) は,全部で 12 ( n2 + n+ ) 個ある.

(2)  x+y+ zn x 0 y0 z0 をみたす整数の組 ( x,y, z) は,全部で 16 ( n 3+ n2+ n+ ) 個ある.

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