1997　上智大学　理工（機械・電気電子）学部MathJax

【１】(1)　$p\text{，}q$を$0$または正の整数とし

$I_{p,q}={\displaystyle {\int }_0^1}{t}^p{(1-t)}^{q}dt$

と置く．

(a)　$I_{p,0}$の値を計算せよ．

(b)　$q\geqq 1$のとき，次の漸化式が成り立つことを証明せよ．

$I_{p,q}={\displaystyle \frac{q}{p+1}}{I}_{p+1,q-1}$

(c)　次の等式を証明せよ．

$I_{p,q}={\displaystyle \frac{p!q!}{(p+q+1)!}}$

(2)　$n$を正の整数とすると

${\displaystyle \sum _{p=0}^n}{(-1)}^p{\displaystyle \frac{p!(n-p)!}{(n+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{n+2}}\{1+{(-1)}^n\}$

が成り立つことを証明せよ．

【２】

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -4& 4\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

としたとき，

$A^2=\boxed{\text{ア}}A+\boxed{\text{イ}}E$

が満たされる．更に，

$A^3=\boxed{\text{ウ}}A+\boxed{\text{エ}}E$

である．

　一般に，$A^n=a_{n}A+b_{n}E$と置けば，$a_n\text{，}{b}_n$は関係式

$a_{n+1}=\boxed{\text{オ}}{a}_n+\boxed{\text{カ}}{b}_n\text{，}{b}_{n+1}=\boxed{\text{キ}}{a}_n+\boxed{\text{ク}}{b}_n$

を満たす．このとき，$\lambda =\boxed{\text{ケ}}$と置けば，$\lambda a_{n+1}+b_{n+1}$と$\lambda a_n+b_n$の比は$n$によらず一定で，

$\lambda a_{n+1}+b_{n+1}=\boxed{\text{コ}}(\lambda a_n+b_n)$

である．結局，

$a_n=n\cdot {\boxed{\text{サ}}}^{n-1}\text{，}{b}_n=-(n-1)\cdot {\boxed{\text{シ}}}^n$

であることが分かる．

【３】　楕円

${\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$

の周上に$4$点$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(-a,b)\text{，}\mathrm{C}(-a,-b)\text{，}\mathrm{D}(a,-b)$をとり，楕円に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$を作る．ただし，$a>0\text{，}b>0$とする．

(1)　長方形の周の長さが最大になるのは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のときであり，そのときの周の長さは$\boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　この長方形を$x$軸のまわりに回転してできる円柱の体積が最大になるのは，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

のときであり，そのときの円柱の体積は

$\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\pi$

である．

【４】　番号を書いた幾つかの玉を下の図のようにひもで一つながりにする．ただし，このとき輪ができないようにし，枝分かれがあってもよいものとする．また，どの玉とどの玉とがつながれているかのみで区別するものとする．

(1)　上のような全てのつなぎかたを考えるとき，

(a)　$\text{①}$から$\text{④}$までの玉をつなぐ方法を$2^p{3}^q{5}^r$通りとすれば，

$p=\boxed{\text{ナ}}\text{，}q=\boxed{\text{ニ}}\text{，}r=\boxed{\text{ヌ}}$である．

(b)　$\text{①}$から$\text{⑤}$までの玉をつなぐ方法を$2^p{3}^q{5}^r$通りとすれば，

$p=\boxed{\text{ネ}}\text{，}q=\boxed{\text{ノ}}\text{，}r=\boxed{\text{ハ}}$

である．

(2)　偶数どうし，奇数どうしが直接つながらないことにするとき，

(a)　$\text{①}$から$\text{⑤}$までの玉をつなぐ方法を$2^p{3}^q{5}^r$通りとすれば，

$p=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}q=\boxed{\text{フ}}\text{，}r=\boxed{\text{ヘ}}$である．

(b)　$\text{①}$から$\text{⑥}$までの玉をつなぐ方法を$2^p{3}^q{5}^r$通りとすれば，

$p=\boxed{\text{ホ}}\text{，}q=\boxed{\text{マ}}\text{，}r=\boxed{\text{ミ}}$である．

注意１　下の二つのつなぎかたは同じものとみなす．

注意２　下のようなつなぎかたは考えない．