1997　上智大学　理工(数・物・化)学部MathJax

【１】

$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\text{，}P={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& x\end{array}\right)\text{，}Q={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ y& 1\end{array}\right)$

とする．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$は単位行列である．

(1)　$A=\alpha P+\beta Q$が成り立つとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}x\text{，}y$の値はそれぞれ

$\alpha =\boxed{\text{ア}}\text{，}\beta =\boxed{\text{イ}}\text{，}x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}y=\boxed{\text{エ}}$

である．また，次が成り立つ．

$P^2=\boxed{\text{オ}}P+\boxed{\text{カ}}E\text{，}{Q}^2=\boxed{\text{キ}}Q+\boxed{\text{ク}}E$

$PQ=QP=\boxed{\text{ケ}}E\text{，}P+Q=\boxed{\text{コ}}E$

(2)

$A^n={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}a+b^n& a-b^n\\ a-b^n& a+b^n\end{array}\right)$

とすると，$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シ}}$である．

(3)

$E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{s}}\left(\begin{array}{cc}tn+u-v^n& tn-u+v^n\\ tn-u+v^n& tn+u-v^n\end{array}\right)$

とすると，

$s=\boxed{\text{ス}}\text{，}t=\boxed{\text{セ}}\text{，}u=\boxed{\text{ソ}}\text{，}v=\boxed{\text{タ}}$

である．

【２】　$y^2=x^3-36x$で表される曲線は，$x$軸に関して対称で，$\boxed{\text{チ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ツ}}$の範囲，または，$\boxed{\text{テ}}\leqq x$の範囲に存在する．$\boxed{\text{チ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ツ}}$の範囲の曲線で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を$2^p{3}^q\pi$とすれば，$p=\boxed{\text{ト}}\text{，}q=\boxed{\text{ナ}}$である．

　この曲線の点$(-2,8)$での接線の傾きは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$となり，この接線が再び曲線と交わる点の$x$座標は

$x={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\right)}^2$

である．

【３】　$n\geqq 1$に対し，${(x+1)}^n$を$x^2-2x+2$で割った余りを$a_{n}x+b_n$と置く．

(1)　関係式

$a_{n+1}=\boxed{\text{ハ}}{a}_n+\boxed{\text{ヒ}}{b}_n$

$b_{n+1}=\boxed{\text{フ}}{a}_n+\boxed{\text{ヘ}}{b}_n$

が成り立つ．

(2)　$a_{25}$を$5$で割った余りは$\boxed{\text{ホ}}$であり，$a_{30}$を$5$で割った余りは$\boxed{\text{マ}}$である．また，$b_{25}$を$5$で割った余りは$\boxed{\text{ミ}}$であり，$b_{30}$を$5$で割った余りは$\boxed{\text{ム}}$である．（ただし，余りは$0$から$4$までの整数とする．）

(3)　$c_n=a_n+k{b}_n$と置く．$c_n$が$c_{n+1}=t{c}_n$（$t$は定数）の形の漸化式を満たせば，

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}\pm \boxed{\text{モ}}i}{\boxed{\text{ヤ}}}}$

であり，そのとき

$t=\boxed{\text{ユ}}\mp \boxed{\text{ヨ}}i$（複号同順）

となる．ただし，$i^2=-1$である．

【４】(1)　$\theta$が$0$から$2\pi$まで動くときの関数

$(4\cos \theta +3\sin \theta )\cos \theta$

の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$である．

(2)　$xy$平面上の関数$f(x,y)$を

$f(x,y)={\displaystyle \frac{7x^2+6xy-y^2+8}{x^4+2x^2{y}^2+y^4-x^2-y^2+2}}$

と置く．点$(x,y)$が原点を中心とした半径$a$の円周上を動くときの$f(x,y)$の最大値を$M(a)$と置くと

$M(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}{a}^2+\boxed{\text{ワ}}}{a^4-a^2+2}}$

である．

(3)　点$(x,y)$が$xy$平面上のすべての点を動くときの$f(x,y)$の最大値は$\boxed{\text{あ}}$である．$f(x,y)$が最大となる点$(x,y)$は全部で$\boxed{\text{い}}$個あり，そのうちの$x$座標が最大となる点の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{う}}}{\sqrt{\boxed{\text{え}}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{お}}}{\sqrt{\boxed{\text{か}}}}})$

である．