1998　大学入試センター試験　追試験　数II・数IIB・旧数IIMathJax

【１】

〔１〕　$a={\log }_{3}x\text{，}$$b={\log }_{9}y$とする．

(1)　$y=9^b$であるから，$\boxed{\text{ア}}b={\log }_{3}y$である．

(2)　$x^{2}y={\displaystyle \frac{1}{3}}$ならば，$a+b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(3)　$a+2b=3$ならば，$x+y$の最小値は$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．

(4)　$ab=2$ならば，$x>1\text{，}$$y>1$のときの$xy$の最小値は$\boxed{\text{キク}}$である．

【１】

〔２〕　$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-1},0)$を直径の両端とする円周の上半分の弧上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし

$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{AOP}+\angle \mathrm{QOB}=60°$

とする．

(1)　四角形$\mathrm{APQB}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\sin \theta +\frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}\cos \theta +\frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

(2)　直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

$\mathrm{AP}=\boxed{\text{ソ}}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}$$\angle \mathrm{PAR}=\boxed{\text{チツ}}°$

であり，三角形$\mathrm{APR}$の面積は

$\sqrt{\boxed{\text{テ}}}(\boxed{\text{ト}}-\cos \theta )$

である．

【２】

〔１〕　$p$を正の数とし，関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-p{x}^2+4$を考える．$f(x)$は

• $x=\boxed{\text{ア}}$で極大値$\boxed{\text{イ}}$をとり，
• $x=\boxed{\text{ウ}}p$で極小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{p}^3+\boxed{\text{キ}}$をとる．

　$a=\boxed{\text{ア}}，$$b=\boxed{\text{ウ}}p$とおく．$4$点$\mathrm{A}(a,f(a))，$$\mathrm{B}(a,f(b))，$$\mathrm{C}(b,f(b))，$$\mathrm{D}(b,f(a))$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形となるのは

$p={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

のときである．

【２】

〔２〕　放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a(a>0)$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_1$とし，$l_1$と直交する$C$の接線を$l_2$とする．また，$l_2$と$C$の接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$であり，$l_2$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}x-\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}{a}^2}}$

である．

(2)　ある数$b(b<a)$に対して，直線$x=b$と直線$l_1$と放物線$C$で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle {\int }_b^a}{\displaystyle (\frac{1}{2}{x}^2-\boxed{\text{ツ}}x+\frac{1}{2}{a}^2)}dx$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{テ}}}}{(a-b)}^{\boxed{\text{ト}}}$

である．

(3)　$2$直線$l_1，$$l_2$と放物線$C$で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ナニ}}}}{(\boxed{\text{ヌ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}})}^{\boxed{\text{ハ}}}$

である．

【３】　座標平面上の$3$点$\mathrm{P}(12,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(15,9)\text{，}$$\mathrm{R}(8,8)$を通る円を$C$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{P}，$$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イウ}}$

であり，線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}x+\boxed{\text{キ}}$

である．

(2)　円$C$の中心の座標は$(\boxed{\text{クケ}},\boxed{\text{コ}})$，半径は$\boxed{\text{サ}}$である．

(3)　直線$y=ax$が円$C$と$2$点で交わるのは

$\boxed{\text{シ}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセソ}}}{\boxed{\text{タチツ}}}}$

のときである．

【４】　座標平面上で点$\mathrm{A}(0,1)$を通る放物線$y=a{x}^2+bx+1$が，直線$y=2$の$x>0$の部分と点$\mathrm{C}(c,2)$で接している．

　このとき，$a，$$b$を$c$を用いて表せば

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{{\boxed{\text{ウ}}}^{\boxed{\text{エ}}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．この放物線と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とすると，直線$\mathrm{AB}$は$c$を用いて

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}x+\boxed{\text{コ}}$

と表される．また，この放物線と直線$\mathrm{AB}$とで囲まれる部分の面積が$1$であるならば

$c=\boxed{\text{サ}}(\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}})$

である．

【３】　$a$は$0<a<1$を満たす数とする．辺$\mathrm{AB}，$$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形$\mathrm{ABC}$に対し，辺$\mathrm{AB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{K}$とし，直線$\mathrm{AK}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}，$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}，$$\overrightarrow{\mathrm{AK}}，$$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}，$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと，それぞれ

• $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{AK}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}-a}{\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}-\boxed{\text{ケ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{AR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}a+\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．

(2)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の満たす条件を求めよう．このとき，$a$は

$(a+\boxed{\text{ツ}})\cos \theta -(\boxed{\text{テ}}a+\boxed{\text{ト}})=0$

を満たす．したがって，求める条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}<\cos \theta <1$

である．

【４】　係数が実数の$4$次方程式

$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0\cdots \text{①}$

が$1+\sqrt{3}i$を解にもつとする．

(1)

• ${(1+\sqrt{3}i)}^2=\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}i$
• ${(1-\sqrt{3}i)}^2=\boxed{\text{アイ}}-\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}i$
• ${(1\pm \sqrt{3}i)}^3=\boxed{\text{オカ}}$
• ${(1+\sqrt{3}i)}^4=\boxed{\text{キク}}-\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}i$
• ${(1-\sqrt{3}i)}^4=\boxed{\text{キク}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}i$

である．

(2)　(1)の計算から，$1-\sqrt{3}i$も$\text{①}$の解であることが分かる．

$\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}$$=x^2-\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}$

であるから，$c，$$d$は$a，$$b$を用いて

$c=\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}}b\text{，}$$d=\boxed{\text{ソ}}a+\boxed{\text{タ}}b$

と表され，$\text{①}$の左辺は

$(x^2-\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}})$$\times \{x^2+(a+\boxed{\text{チ}})x+(\boxed{\text{ツ}}a+b)\}$

と因数分解される．

(3)　さらに，方程式$\text{①}$が異なる四つの解をもち，その絶対値がすべて等しく，かつ四つの解の和が$1$であるならば，方程式$\text{①}$は

$x^4-x^3+\boxed{\text{テ}}{x}^2-\boxed{\text{ト}}x+\boxed{\text{ナニ}}=0$

となる．

【５】　$1$枚の硬貨を続けて$6$回投げる．各回ごとに，表が出たら次の規則にしたがって点を与え，裏が出たらその回は$0$点として，$6$回の合計点を$X$とする．

$1$回目が表の場合は	$3$点
$2，$$3$回目が表の場合は	$2$点
$4，$$5，$$6$回目が表の場合は	$1$点

(1)　$X=2$である確率は$X=\boxed{\text{ア}}$である確率と等しく${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$であり，$X=3$である確率は$X=\boxed{\text{オ}}$である確率と等しく${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}\ne 2，\boxed{\text{オ}}\ne 3$とする．

　また，$X=4$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

(2)　$X$の期待値（平均）は$\boxed{\text{サ}}$であり，分散は$\boxed{\text{シ}}$である．

(3)　表が$3$回だけ出るという条件のもとに，$X=6$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

【６】　与えられた正の整数 N に対して，1 から N-1 までの整数A ，Bの積を N で割った余りを表示するプログラムを作った．ここで，INT(X) は X を超えない最大の整数を表す関数である．

• 110 INPUT "n =";N
• 120 FOR A = 1 TO N - 1
• 130  FOR B = 1 TO N - 1
• 140   C = A*B
• 150   D = C - INT(C/N)*N
• 160   PRINT D;
• 170  NEXT B
• 180  PRINT
• 190 NEXT A
• 200 END

(1)　n=? に対して 4 を入力すると，次のように出力される．

• $\boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}$
• $\boxed{\text{エ}}\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}$
• $\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}\boxed{\text{ケ}}$

(2)　n=? に対して 10 を入力すると$\boxed{\text{コサ}}$個の数が出力される．そのうち 1 は$\boxed{\text{シ}}$個ある．

　$\boxed{\text{シ}}$個だけ出力される数を小さい方から順に並べると 1 ，$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}$になる．

(3)　n=? に対して 12 以上 20 以下の整数 K を入力すると${(\mathtt{K}-\boxed{\text{タ}})}^{\boxed{\text{チ}}}$個の数が出力される．このとき，1 が K-1 個出力されるような K を，小さい順に書くと K = $\boxed{\text{ツテ}}\text{，}$$\boxed{\text{トナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニヌ}}$になる．

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=3\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}，$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{b}$である．

(2)　$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とすると

• $\overrightarrow{\mathrm{AL}}=\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{b}$

である．

(3)　$\mathrm{AC}$と$\mathrm{LM}$の交点を$\mathrm{E}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{LE}}{\mathrm{EM}}=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

(4)　さらに$\angle \mathrm{BAD}=120°，$$\mathrm{AB}=3，$$\mathrm{AD}=2$とする．線分$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくと，$\mathrm{AP}$は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$をとり，$t=\boxed{\text{ツ}}$のとき最大値$\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$をとる．

【２】

〔１〕　関数$f(x)=x{(x-6)}^2$は$x=\boxed{\text{ア}}$で極大値$\boxed{\text{イウ}}$をとる．

　曲線$y=f(x)$を$C$とする．$0<a<36$である定数$a$に対して，直線$y=ax$を$l$とする．$l$と$C$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なり原点に近い点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標$b$は

$b=\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．

　線分$\mathrm{OP}$と$C$で囲まれる部分の面積$S_1$を$b$を用いて表すと

$S_1=b^{\boxed{\text{カ}}}(\boxed{\text{キ}}-{\displaystyle \frac{b}{\boxed{\text{ク}}}})$

である．

　直線$l$，$x$軸および直線$x=b$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

のときである．

【２】

〔２〕　初項$99\text{，}$公差$\mathrm{-4}$の等差数列の第$n$項を$a_n\text{，}$初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n$は$n=\boxed{\text{ソタ}}$のときはじめて負になり，そのときの値は$\boxed{\text{チツテ}}$である．また，$S_n$は$n=\boxed{\text{トナ}}$のとき最大値$\boxed{\text{ニヌネノ}}$をとる．

　次に初項${\displaystyle \frac{1}{128}}\text{，}$公比$8^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$の等比数列の第$n$項を$b_n$とする．$b_n$は$n=\boxed{\text{ハヒ}}$のときはじめて$1$より大きくなり，そのときの値は${\boxed{\text{フ}}}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$である．また，${\log }_2{b}_n$は$n=\boxed{\text{ヘホ}}$のときはじめて$2a_n$より大きくなる．

$1$	$2$	$3$	$4$
$5$	$6$	$7$	$8$
$9$	$10$	$11$	$12$
$13$	$14$	$15$	$16$

【３】　正方形の板を右図のように$16$等分して，$1$から$16$までの番号を付ける．このようにしてできた小正方形と同じ大きさのカードを$16$枚用意して，$1$から$16$までの数字を書き込み，袋に入れる．カードを袋の中から取り出して，板の上の同じ番号の場所に置く．

(1)　$4$枚取り出して置くとき，縦または横に$1$列に並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウエ}}}}$である．

(2)　$8$枚取り出して置くとき，縦$2$列または横$2$列に列がとなりあって並ぶ確率は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オカキク}}}}$である．

(3)　$8$枚取り出して置くとき，どの$2$枚も縦にも横にもとなりあわない確率は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケコサシ}}}}$である．

(4)　$7$枚取り出して置くとき，縦に$4$枚並んだ列と横に$4$枚並んだ列が同時にできる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}}$である．

(5)　$12$枚取り出して置くとき，縦にも横にも$4$枚並んだ列が一つもできない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテト}}}}$である．

(6)　$3$枚取り出して置くとき，縦，横または斜めに連続して$1$列に並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．