1998　北海道大学　前期MathJax

【１】　正の数$a$に対し，関数$y=x^2-ax{\displaystyle (\frac{a}{6}\leqq x\leqq \frac{5a}{6})}$のグラフを$C$とする．長方形$T$で，一辺が$x$軸に含まれ，その対辺の両端が$C$上にあるものをすべて考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　長方形$T$の周の長さの最大値を，$a$を用いて表せ．ただし，長方形の周の長さとは，$4$辺の長さの和のことをいう．

(2)　長方形$T$の面積の最大値を，$a$を用いて表せ．

【２】　次の連立不等式の表す領域が三角形の内部になるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

$x-y<0\text{，}x+y<2\text{，}ax+(2a+3)y<1$

【３】　${\displaystyle \frac{1}{x}}$の小数部分が${\displaystyle \frac{x}{2}}$に等しくなるような正の数$x$をすべて求めよ．ただし，正の数$a$の小数部分とは， $a$をこえない最大の整数$n$との差$a-n$のことをいう．たとえば，$3$の小数部分は$0$であり，$3.14$の小数部分は$0.14$である．

【４】　複素数平面において，複素数$1\text{，}1+2i\text{，}2i\text{，}z\text{，}w$を表す点を，それぞれ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，複素数$z^2$を表す点は，複素数平面上で，そのような図形をえがくか．式で表し，図示せよ．

(2)　$△\mathrm{AQC}$が点$\mathrm{Q}$を直角の頂点とする直角三角形になるとき，複素数$w$を求めよ．

【５】　正の数$a$に対し，空間内の$4$点

• $\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{P}(2\sqrt{2}a,0,0)\text{，}$
• $\mathrm{Q}(\sqrt{2}a,\sqrt{5}a,1)$

を考える．$\angle \mathrm{OPQ}=60°$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【１】　中心がそれぞれ，$(\mathrm{-2},0)\text{，}(2,0)$である半径$1$の円$A\text{，}B$を考える．円$C$が，$A$を内側に含み，$B$の外側にあり，しかも，$A\text{，}B$の両方に接しながら動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の中心の軌跡を求めよ．

(2)　円$C$が直線$y=2$に接するとき，$C$の半径を求めよ．

【２】　関数$y=\sqrt{1-{(\log x)}^2}({\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq x\leqq e)$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$はその底とする．

(1)　$C$上の点$\mathrm{A}$における$C$の接線が原点$\mathrm{O}(0,0)$を通るものとする．このとき，点$\mathrm{A}$の$x$座標を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【３】　ある駅の待合室に，$n$個のいすが横一列に並んでいる．$k$人が，どの二人も隣り合わないように，いすにすわる場合の数を，$f(n,k)$とする．$n\geqq 2k-1$のとき，次を証明せよ．

$f(n,k)={}_{n-k+1}C_k\times (k!)$

【４】　次の連立不等式の表す領域が三角形の内部になるような点$(a,b)$の集合を式で表し，図示せよ．

$x-y<0\text{，}x+y<2\text{，}ax+by<1$

【５】　${\displaystyle \frac{z}{2}+\frac{1}{z}}$が$0$以上$2$以下の実数であるような複素数$z\text{（}z\ne 0\text{）}$を表す複素数平面上の点の集合を，式で表し，図示せよ．

【６】　無作為に$13$人を選ぶとき，日曜日生まれの人の数を$X\text{，}$土曜日生まれの人の数を$Y$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，どの曜日に生まれる確率も${\displaystyle \frac{1}{7}}$とする．

(1)　$X=k\text{，}Y=m$となる確率$P(X=k,Y=m)$を$k\text{，}m$の式として表せ．ただし，$0\leqq k\text{，}0\leqq m\text{，}k+m\leqq 13$とする．

(2)　$P(X=k,Y=2)$が最大となる$k$を求めよ．