1998　東北大学　前期MathJax

【１】　$2$つの曲線$y=x^2$と$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$で囲まれた図形を$S$とする．ただし$S$は境界を含むものとする．

(1)　$S$の面積を求めよ．

(2)　直線$y=x+k$が，$S$と共通部分を持つための$k$の範囲を求めよ．

【２】　$0<a<b$とし，$m\text{，}n$を自然数とする．

$f(m)=\log {\displaystyle \frac{a^m+b^m}{2}}\text{，}g(m)={\displaystyle \frac{\log (a^m)+\log (b^m)}{2}}$

とする．このとき，

$f(m+n)\text{，}f(m)+f(n)\text{，}g(m+n)\text{，}g(m)+g(n)$

を大きさの順に並べよ．ただし，対数は常用対数とする．

【３】　$2$点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$を考える．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}$が

$\angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{QPA}\text{（}\mathrm{O}:$原点）

をみたしている．直線$\mathrm{OP}$の傾きを$m$として，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．

【４】　白玉$3$個，赤玉$4$個があるとし，同じ色の玉は区別できないものとする．

(1)　上の$7$個を$2$つの区別のついた袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に分けて入れる．入れる方法は何通りあるか．ただし，いずれの袋にも$\mathrm{７}$個のうち少なくとも$1$個は入れるものとする．

(2)　$6$段の引き出しのついたタンスが$2$つあり，その中に上記の玉$7$個を分けて入れたい．ただし，どの引き出しにも$1$個しか入れないものとする．各タンスの引き出しは上から何段目か区別がつくが，$2$つのタンスは区別しないものとすれば，入れる方法は何通りあるか．

【５】　実数の数列$\{a_n\}$が，

$a_{3n}=a_n\text{，}{a}_{n+5}=a_n\text{，}{a}_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\text{，}{a}_1{a}_3{a}_5=8$

をみたすとき，

(1)　$a_1\text{，}{a}_5$の値を求めよ．

(2)　数列の和$a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ．

【１】(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$のとき，$y=f(x)$の逆関数$y=g(x)$を求めよ．

(2)　(1)の$f(x)\text{，}g(x)$に対し，次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx+{\displaystyle {\int }_{f(a)}^{f(b)}}g(x)dx=bf(b)-af(a)$

【２】　$2$次正方行列$X=\left(\begin{array}{cc}s& t\\ u& v\end{array}\right)$に対し，$s+v$を$X$のトレースという．$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& c\end{array}\right)$と$A^2$のトレースがともに$-1$であるとする．

(1)　$A^3=E$を示せ．ただし，$E$は単位行列である．

(2)　連立$1$次方程式${(A+E)}^4\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$を解け．

【３】　ある$1$面だけに印のついた立方体が水平な平面に置かれている．平面に接する面（底面）の$4$辺のうち$1$辺を選んでこの辺を軸にしてこの立方体を横に倒す，という操作を行う．ただし，どの辺が選ばれるかは同様に確からしいとし，印のついた面が最初は上面にあるとする．この操作を$n$回続けて行ったとき，印のついた面が立方体の側面にくる確率を$a_n\text{，}$底面にくる確率を$b_n$とおく．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を導け．

(3)　$b_n$を$n$の式で表し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【４】　$a$と$b$は$\pm 1\text{，}0$でない実数とする．実数$x\text{，}y$が，

${\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}}=a\text{，}{\displaystyle \frac{\cos x}{\cos y}}=b$

を満たしているとする．

(1)　${\tan }^{2}y$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面に図示せよ．

【５】　$x$の方程式$x^2+a|x-1|+b=0$が異なる実数解をちょうど$2$個もつとき，点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面に図示せよ．

【６】(1)　点$\mathrm{P}(p,q)$と円$C:{(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2\text{（}r>0\text{）}$との距離$d$とは，$\mathrm{P}$と$C$上の点$(x,y)$との距離の最小値をいう．$\mathrm{P}$が$C$の外部にある場合と内部にある場合に分けて，$d$を表す式を求めよ．

(2)　$2$つの円$C_1:{(x+4)}^2+y^2=81$と$C_2:{(x-4)}^2+y^2=49$から等距離にある点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

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