1998　筑波大学　0106解答MathJax

1998　筑波大学　前期

数学C分野

易□　並□　難□

【６解答】(1)　重量を $X$ とする． $X$ が正規分布 $N (104, 2^{2})$ に従うとき，確率変数 $Y = \frac{X - 104}{2}$ は標準正規分布 $N (0, 1)$ に従う．

$P (X ≦ 100) = P (\frac{X - 104}{2} ≦ \frac{100 - 104}{2})$

$= P (Y ≦ - 2)$ $= P (2 ≦ Y)$

$= 1 - P (Y ≦ 0) - P (0 ≦ Y ≦ 2)$

$= 1 - 0.5 - 0.4772$ 【 $∵$ 正規分布表】

$= 0.0228$

(2)　 $4$ 個の重量の平均 $\overline{X}$ は，正規分布 $N (104, \frac{2^{2}}{4}) ，$ すなわち $N (104, 1^{2})$ に従う．

　確率変数 $Z = \frac{\overline{X} - 104}{1} = \overline{X} - 104$ は標準正規分布 $N (0, 1)$ に従う．

$P (\overline{X} ≦ 101) = P (\overline{X} - 104 ≦ 101 - 104)$

$= P (Z ≦ - 3)$ $= P (3 ≦ Z)$

$= 1 - P (Z ≦ 0) - P (0 ≦ Z ≦ 3)$

$= 1 - 0.5 - 0.4987$ 【 $∵$ 正規分布表】

$= 0.0013$

(3)　個数 $n = 81$ の無作為標本の平均重量を $\overline{W} ，$ 標準偏差を $σ$ とすると，母集団 $m$ の平均の信頼度 $95 ％$ における信頼区間は，正規分布表から $95 %$ のときの $z_{0}$ は $1.96$ なので

$\overline{W} - 1.96 \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}} ≦ m ≦ \overline{W} + 1.96 \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}$

$⟺ 110 - 1.96 \cdot \frac{1.8}{\sqrt{81}} ≦ m ≦ 110 + 1.96 \cdot \frac{1.8}{\sqrt{81}}$

$⟺ 109.608 ≦ m ≦ 110.392$

解答はDYさんによる(2023/11/24)