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1998 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

1998年筑波大前期【1】の図

【1】 直角三角形 A0 P0 O の斜辺 O P0 上に点の列 P 1 P 2 P n を,辺 O A0 上に点の列 A 1 A2 An を,それぞれ次のように定める.まず, OP1 =OA 0 とする.次に点 P1 から O A0 に下ろした垂線の足を A1 とする.次に O P2=O A1 とし,点 P2 から O A0 に下ろした垂線の足を A2 とする.以下,この操作を繰り返す. P0 OA0 =θ O A0= a とし, A n-1 Pn- 1P n の面積を Sn とする. S (θ )=S 1+S 2+ +Sn + とするとき,次の問に答えよ.

(1)  S1 a θ で表せ.

(2)  S(θ ) a θ で表せ.

(3)  limθ +0 S (θ )θ を求めよ.



1998 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x)= e xx x >0 について次の問に答えよ.

(1)  y=f (x ) のグラフの概形をかけ.

(2)  y=f (x) のグラフの 1 x2 に対応する部分, 2 直線 y= f(1 ) y=f (2) および y 軸で囲まれた部分を, y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

1998 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x)= x2x +1 1t2 +1 d t について次の問に答えよ.

(1)  f(x )=0 となる x を求めよ.

(2)  f (x)= 0 となる x を求めよ.

(3)  f(x ) の最大値を求めよ.

1998 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【4】 行列 A= 1 2 ( 3 -11 3 ) について次の問に答えよ.

(1)  A=( 1 0a 1 )( b 00 c )( 1 d0 1 ) をみたす a b c d を求めよ.

(2)  A3 ( 1 0p 1 )( q 00 r )( 1 s0 1 ) の形には表せないことを示せ.

(3)  A4 A5 A6 A15 の中で ( 1 0 p1 ) ( q0 0 r) ( 1 s 01 ) の形に表せないものを求めよ.

1998 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

1998年筑波大前期【5】の図

【5】  xy 平面の第 1 象限内の点 H が原点 O を中心とする半径 a の円周上にある.点 H から x 軸, y 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ A B とし,さらに点 H から線分 AB に下ろした垂線の足を P とする.線分 HP の長さを l AHP= θ とするとき,次の問に答えよ.

(1)  l a θ で表せ.

(2) 点 P( x,y) の座標 (x ,y) a θ で表せ.

(3) 点 H が円周上を動くとき,線分 OP の長さの最小値を求めよ.



1998-10162-0106

DYさんによる解答

1998 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【6】 ある会社で製造してるパッケージ入り食料品の正味重量は,母平均 104.0 g 母標準偏差 2.0 g の正規分布に従うと考えられる.次頁の正規分布表を用いて,次の問に答えよ.

(1) あるパッケージの正味重量が 100.0 g 以下になる確率を求めよ.

(2)  4 個のパッケージを無作為に取り出したとき,その正味重量の平均が 101.0 g 以下になる確率を求めよ.

(3) 製造行程の変更を行い, 81 個のパッケージを無作為に取り出しその正味重量を調べたところ,平均 110.0 g 標準偏差 1.8 g であった.このとき, 1 パッケージ当りの平均正味重量を信頼度 95 % で推定せよ.ただし,製造工程変更後も正味重量は正規分布に従うものとする.

1998 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【7】 連続関数 f (x) と定数 a b d a <b d>0 が与えられている. f( a)>0 f(b )<0 であるとき,方程式 f (x)= 0 の近似解を以下の方法で求める.

1.  a0= a b0= b とおく.

2.  i=0 1 2 に対して次の反復を行う.

  2 (a i,f (ai )) (bi ,f( bi) ) を結ぶ直線と x 軸との交点の x 座標を c i+1 とする.

  |f (ci +1 )|< d ならば計算を停止し, ci+ 1 を近似解とする.そうでないときは,

  f(c i+1 )<0 ならば a i+1 =ai bi+1 =c i+1

  f (ci +1) >0 ならば a i+1 =c i+1 bi+ 1= bi とおく.

 このとき,次の問に答えよ.

(1)  ci+ 1 a i bi で表せ.

(2) 上の方法で方程式 -4 x3 +16 x2- 19x+ 6=0 0 x 3 の範囲にある一つの解の近似値を計算するプログラムをかけ.ただし, d=0.00001 とし, 100 回以内の反復で近似解が求められなければ c 100 を近似解として出力するものとする.

(3)  f(x )=- x2+ 2 a=0 b= 2 とするとき ci+ 1 ci で表し, ci c2 c3 c4 を小数点以下第 3 位まで求めよ.

1998 筑波大学 前期

新課程,旧課程いずれの受験者も選択解答できる

易□ 並□ 難□

1998年筑波大前期【8】の図

【8】 座標空間の 8

A(1 ,-1, 0) B( 1,1, 0) C (- 1,1, 0) D (- 1,-1 ,0)

A (1, -1,2 ) B (1, 1,2 ) C (-1 ,1,2 ) D (-1 ,-1, 2)

を頂点とする立方体がある.

  xy 平面上の点 P( p,p, 0) と直線 A C を含む平面でこの立方体を切り,その切り口の面積を S (p) とする.このとき,次の問に答えよ.ただし, 0p 1 とする.

(1)  S(p ) を求めよ.

(2)  p が上の範囲を動くとき, S( p) の最大値を求めよ.



志望別問題選択一覧

第一学群

 社会学類 【1】【3】から2題選択

 自然学類 【1】【3】必須,【4】【8】から2題選択

第二学群

 人間学類 数学III選択 【1】【3】から2題選択

 人間学類 数学C選択 【4】【8】から2題選択

 生物学類,生物資源学類,社会工学類 【1】【3】必須,【4】【8】から2題選択

第三学群

 国際総合学類 数学III選択【1】【3】から2題選択

 国際総合学類 数学C選択【4】【8】から2題選択

 情報学類 【1】【3】必須,【4】【8】から2題選択

 工学システム学類,基礎工学類 【2】【3】必須,【4】【8】から1題選択

医学専門学群

 【1】【3】必須,【4】【8】から2題選択

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