1998　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

1998-10221-0101

1998　埼玉大学　前期

経済，教育学部

易□　並□　難□

[ $1$ 回目]

[ $2$ 回目]

【１】　面積が $1$ の $▵ ABC$ がある．図のように，まず， $▵ ABC$ の三辺の中点を結んでできる三角形を取り除く．同じように残った三個の三角形について，それぞれの三辺の中点を結んでできる三角形を取り除く．この操作を $n$ 回続けるとき，残った図形の面積を $S_{n}$ とする．

　このとき，次の各問いに答えなさい．

(1)　 $S_{n}$ を $n$ の式で表しなさい．

(2)　 $S_{n} < \frac{1}{4}$ となる最小の $n$ を求めなさい．

1998-10221-0102

1998　埼玉大学　前期

経済，教育学部

易□　並□　難□

【２】　点 $O$ を中心とする単位円上の $4$ 点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4}$ に対し

$\vec{O B_{1}} = \frac{\vec{O A_{2}} + \vec{O A_{3}} + \vec{O A_{4}}}{2}$

$\vec{O B_{2}} = \frac{\vec{O A_{3}} + \vec{O A_{4}} + \vec{O A_{1}}}{2}$

$\vec{O B_{3}} = \frac{\vec{O A_{4}} + \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}}}{2}$

$\vec{O B_{4}} = \frac{\vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} + \vec{O A_{3}}}{2}$

となる点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， B_{4}$ をとる．さらに

$\vec{ON} = \frac{\vec{O B_{1}} + \vec{O B_{2}} + \vec{O B_{3}} + \vec{O B_{4}}}{3}$

となる点 $N$ をとるとき， $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， B_{4}$ は $N$ を中心とする一つの円上にあることを示し，この円の半径を求めなさい．

1998-10221-0103

1998　埼玉大学　前期

経済，教育学部

易□　並□　難□

【３】　放物線 $y = a x^{2} （ a > 0 ）$ 上の点 $P (t, a t^{2}) （ t > 0 ）$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とする． $O$ を原点とし， $∠ OPQ = θ （ 0 ° < θ < 180 ° ）$ とするとき，次の各問いに答えなさい．

(1)　 $\tan θ$ を $t$ の式で表し， $\tan θ ≦ \frac{\sqrt{2}}{4}$ が成り立つことを証明しなさい．

(2)　 $\tan θ = \frac{\sqrt{2}}{4}$ が成り立つとき，線分 $OP$ と放物線 $y = a x^{2}$ が囲む図形の面積を $a$ の式で表しなさい．

1998-10221-0104

1998　埼玉大学　前期

経済，教育学部

旧課程履修者のみ【５】との選択

易□　並□　難□

【４】　 $x$ 軸上を動く点 $A$ があり，最初は原点にある．硬貨を投げて表が出たら正の方向に $1$ だけ進み，裏が出たら負の方向に $1$ だけ進む．硬貨を $6$ 回投げるものとして，以下の確率を求めなさい．

(1)　硬貨を $6$ 回投げたときに，点 $A$ が原点にもどる確率．

(2)　硬貨を $6$ 回投げたとき，点 $A$ が $2$ 回目に原点にもどり，かつ $6$ 回目に原点にもどる確率．

(3)　硬貨を $6$ 回投げたとき，点 $A$ が初めて原点にもどる確率．

1998-10221-0105

1998　埼玉大学　前期

経済，教育学部

旧課程履修者のみ選択

易□　並□　難□

【５】　点 $A (1, 1, 1)$ と平面 $α$ に対し，平面 $α$ までの距離と点 $A$ までの距離が等しい点の軌跡の方程式が

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 4 z + 2 = 0$

であるとする．このとき，平面 $α$ の方程式を求めなさい．

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