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1998-10221-0201
1998 埼玉大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の各問に答えよ.
(1) 長さが 1 で互いに直交する 2 つのベクトル p → ,q→ がある.
ベクトル a⁢ p→ +b⁢ q→ は長さ 1 で,ベクトル p→+ q→ とのなす角が π3 であるとする.このとき a , b を求めよ.
1998-10221-0202
(2) 不等式 cos⁡ 2⁢θ+ 9⁢sin⁡ θ-5> 0 を満たす θ の範囲を求めよ.ただし 0 ≦θ< 2⁢π とする.
1998-10221-0203
【2】 関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) を次のように定める.
f⁡( x)= { 2⁢x ( x<0 のとき) x( x≧ 0 のとき)
g⁡( x)= -1 4⁢ x2 +a⁢x +b (ただし b≠0 )
y=f⁡ (x ) と y= g⁡( x) のグラフは異なる 2 点 P , Q で接しているとする. P , Q の x 座標をそれぞれ p , q ( p<q ) とおく.
(1) a ,b ,p ,q を求めよ.
(2) ∫ pq⁡ {f⁡ (x) -g⁡( x)} ⁢dx を計算せよ.
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【3】 t>1 として関数 h⁡ (t ) を次のように定める.
h⁡( t)= ∫ 12⁢ t1 t⁡ { 1x⁢( x-1) - 1x2 }⁢ dx
(1) 関数 h⁡ (t ) の最大値を求めよ.
(2) 次を満たす定数 a ,b を求めよ.
limt→ ∞⁡ {h⁡ (t) -a⁢t- b}= 0
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【4】 a ,b ,α ,β は実数で, a≠b とし,行列 A= ( a1 b1 ) ,B= (α -β βα ) が,条件
A⁢B= ( 0-1 1 0 )⁢A
を満たしているとする.
(1) B2= ( -10 0 -1 ) を示せ.
(2) 行列 A , B を求めよ.