1998 埼玉大学 後期(理,工学部)MathJax

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1998 埼玉大学 後期

理,工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(1) 長さが 1 で互いに直交する 2 つのベクトル p q がある.

 ベクトル a p +b q は長さ 1 で,ベクトル p+ q とのなす角が π3 であるとする.このとき a b を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(2) 不等式 cos 2θ+ 9sin θ-5> 0 を満たす θ の範囲を求めよ.ただし 0 θ< 2π とする.

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【2】 関数 f (x) g (x) を次のように定める.

f( x)= { 2x x<0 のとき) x x 0 のとき)

g( x)= -1 4 x2 +ax +b (ただし b0

y=f (x ) y= g( x) のグラフは異なる 2 P Q で接しているとする. P Q x 座標をそれぞれ p q p<q とおく.

(1)  a b p q を求めよ.

(2)  pq {f (x) -g( x)} dx を計算せよ.

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【3】  t>1 として関数 h (t ) を次のように定める.

h( t)= 12 t1 t { 1x( x-1) - 1x2 } dx

(1) 関数 h (t ) の最大値を求めよ.

(2) 次を満たす定数 a b を求めよ.

limt {h (t) -at- b}= 0

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【4】  a b α β は実数で, ab とし,行列 A= ( a1 b1 ) B= (α -β βα ) が,条件

AB= ( 0-1 1 0 )A

を満たしているとする.

(1)  B2= ( -10 0 -1 ) を示せ.

(2) 行列 A B を求めよ.

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