1998　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$a>0$とし，$x\text{，}y$が$4$つの不等式

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}$

$2x+3y\leqq 12\text{，}$

$ax+(4-{\displaystyle \frac{3}{2}}a)y\leqq 8$

を同時にみたしているとする．このとき$x+y$の最大値$f(a)$を求めよ．

【２】　$R$を隣りあう$2$辺の長さ$a\text{，}b$が$2a>b>a$をみたす長方形とし，$A$を次の性質(P)を持つ半径$x$の円とする．

(P)　$R$の内部にあって隣りあう$2$辺にだけ接する．

(1)　性質(P)を持つ円で円$A$に外接するものが$4$つ存在するために，円$A$の半径$x$がみたすべき条件を$a\text{，}b$を使って表せ．

(2)　$x$が(1)の条件をみたすとき，円$A$に外接する$4$つの円のうち$2$番目に大きい円を$B$とする．$x$が変化するとき円$A$と円$B$の面積の和の最小値を求めよ．

【３】(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x}}$とし，$t$を実数とする．すべての自然数$n$に対し実数$f_n(t)$が

$f_n(t)=f(f_{n-1}(t))\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}$ただし$f_0(t)=t$

によって帰納的に定義できるための$t$の条件を求めよ．

(2)　$a\geqq 1$に対して，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\displaystyle {\int }_a^{a+\frac{1}{n}}}(f_n(t)-1)dt$

を求めよ．

【４】　楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+y^2=1\text{（}a>1\text{）}$上に点$\mathrm{A}(a,0)$をとる．$C$上の点$\mathrm{B}(p,q)\text{（}q>0\text{）}$における接線$l$と線分$\mathrm{BA}$のなす角が，$l$と直線$x=p$のなす角に等しいとする．ただし$2$直線のなす角は鋭角の方をとることにする．

(1)　座標$p$を$a$で表せ．

(2)　極限値$\underset{a\to 1}{\lim }p$および$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p}{a}}$を求めよ．