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1998 一橋大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 正の整数 n 8 で割った余りを r (n ) とおく.

 正の整数の組 (a ,b) は,条件

0<a- r( a)< 43 r (b )

0<b- r( b)< 43 r (a b)

をみたすとする.

(1)  a-r (a ) r (b ) を求めよ.

(2)  a b を求めよ.

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【2】 数列 { an }

a1= 5

an+ 1=2 an +3n n= 1 2

で定める.

(1)  bn= an- 3n とおく. bn+ 1 b n で表せ.

(2)  an を求めよ.

(3)  an< 1010 をみたす最大の正の整数 n を求めよ.ただし, log10 2=0.3010 log10 3=0.4771 としてよい.

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【3】  ABC 3 BC CA AB t: 1-t の比に内分する点をそれぞれ A1 B 1 C 1 とおき, A 1B 1C 1 3 B1 C1 C 1A 1 A 1B 1 t :1-t の比に内分する点をそれぞれ A 2 B2 C2 とおく.ただし, 0<t< 1 とする.

(1)  A 2B 2C 2 の辺 B 2C 2 ABC のいずれかの辺と平行となる t の値を求めよ.

(2) (1)のとき, A 2B 2C 2 ABC に相似であることを示し,その相似比を求めよ.

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【4】 放物線 y =x2 上の点 A (a ,a2 ) における接線 l と,点 B (b ,b2 ) における接線 m との交点を C とおく.ただし, a<b とする.

(1)  2 直線 l m と放物線 y= x2 とで囲まれる部分の面積 S a b で表せ.

(2) 点 C が放物線 y= 1 2 x2- x-2 の上を動くときの面積 S の最小値を求めよ.

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【5】  H 大学には 4 つの食堂があり, A 君と B さんは,それぞれ毎日正午に,前日とは異なる 3 つの食堂のうち 1 つを無作為に選んで昼食をとることにしている.最初の日,二人は別々の食堂で食事をしたとして,以下の確率を求めよ.

(1)  n 日後に,はじめて二人が食堂で出会う確率.ただし n 1 とする.

(2)  n 日後に,二人が食堂で出会うのがちょうど 2 回目である確率.ただし n 2 とする.

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