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1998-10272-0101
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1998 一橋大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 正の整数 n を 8 で割った余りを r⁡ (n ) とおく.
正の整数の組 (a ,b) は,条件
0<a- r⁡( a)< 43 ⁢r ⁡(b )
0<b- r⁡( b)< 43 ⁢r⁡ (a⁢ b)
をみたすとする.
(1) a-r⁡ (a ) と r⁡ (b ) を求めよ.
(2) a と b を求めよ.
1998-10272-0102
【2】 数列 { an } を
a1= 5
an+ 1=2 ⁢an +3n ( n= 1 ,2 ,⋯ )
で定める.
(1) bn= an- 3n とおく. bn+ 1 を b n で表せ.
(2) an を求めよ.
(3) an< 1010 をみたす最大の正の整数 n を求めよ.ただし, log10⁡ 2=0.3010 , log10⁡ 3=0.4771 としてよい.
1998-10272-0103
【3】 ▵ABC の 3 辺 BC , CA ,AB を t: 1-t の比に内分する点をそれぞれ A1 , B 1 ,C 1 とおき, ▵A 1B 1C 1 の 3 辺 B1 C1 , C 1A 1 ,A 1B 1 を t :1-t の比に内分する点をそれぞれ A 2, B2 , C2 とおく.ただし, 0<t< 1 とする.
(1) ▵A 2B 2C 2 の辺 B 2C 2 が ▵ABC のいずれかの辺と平行となる t の値を求めよ.
(2) (1)のとき, ▵A 2B 2C 2 は ▵ABC に相似であることを示し,その相似比を求めよ.
1998-10272-0104
【4】 放物線 y =x2 上の点 A (a ,a2 ) における接線 l と,点 B (b ,b2 ) における接線 m との交点を C とおく.ただし, a<b とする.
(1) 2 直線 l , m と放物線 y= x2 とで囲まれる部分の面積 S を a と b で表せ.
(2) 点 C が放物線 y= 1 2⁢ x2- x-2 の上を動くときの面積 S の最小値を求めよ.
1998-10272-0105
【5】 H 大学には 4 つの食堂があり, A 君と B さんは,それぞれ毎日正午に,前日とは異なる 3 つの食堂のうち 1 つを無作為に選んで昼食をとることにしている.最初の日,二人は別々の食堂で食事をしたとして,以下の確率を求めよ.
(1) n 日後に,はじめて二人が食堂で出会う確率.ただし n≧ 1 とする.
(2) n 日後に,二人が食堂で出会うのがちょうど 2 回目である確率.ただし n ≧2 とする.