1998　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=4$である$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$を通り直線$\mathrm{AP}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(3)　比$\mathrm{AR}:\mathrm{RC}$を求めよ．

【２】　実数$a$に対し，$x$の方程式

$x^4+a{x}^2+1=0$

が実数解$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4\text{（}{x}_1<x_2<x_3<x_4\text{）}$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x_1+x_2+x_3+x_4\text{，}{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4\text{，}{x}_1{x}_2+x_3{x}_4$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4$が等差数列であるとき，$a\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　関数$f(\theta )={\sin }^2\theta -\sin \theta \sin 2\theta -4\cos 2\theta -4\cos \theta \text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x=\cos \theta$として，$f(\theta )$を$x$の式で表せ．

(2)　$f(\theta )=0$となる$\theta$の値を求めよ．

(3)　$\theta$の方程式$f(\theta )=a$が解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　不等式$-x\leqq y\leqq x-x^2$の表す$xy$平面上の領域を$D$とする．$a$を$0<a<2$を満たす定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(a,-a)\text{，}(t,-a)\text{，}(t,t-t^2)\text{，}(a,t-t^2)$が$D$に含まれる長方形の$4$頂点になるための$t$の条件を求めよ．

(2)　$t$が(1)の条件を満たしながら動くとき，(1)の長方形の面積の最大値を$a$で表せ．

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{x}^2|\sin x|dx$

【１】　次の定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^{e-1}}{\displaystyle \frac{\log (\log (x+1))}{x+1}}dx$（$e$は自然対数の底）

【２】　曲線$C:y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,t^3)\text{（}t>1\text{）}$における接線を$l$とし，$C$と$l$の$\mathrm{P}$以外の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$u$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．

(2)　$C$と$l$とで囲まれた図形の面積を$t$で表せ．

(3)　$a$を正の定数とするとき，$C$上の点$\mathrm{R}(v,v^3)\text{（}v<u\text{）}$を$▵\mathrm{PQR}$の面積が$a$に等しくなるようにとる．$\mathrm{R}$を通り，$l$に平行な直線と$x$軸との交点の$x$座標を$w$とするとき，$w>t$となるための，$a$と$t$との関係を求めよ．

【３】　次の各問いに答えよ．

(1)　平面上に一辺の長さが$4$の正三角形がある．$r$を$1$以下の正の実数とし，半径$r$の円の中心が，平面内でこの正三角形の辺上を一周するとき，この円が通過する部分の面積を求めよ．

(2)　空間内に一辺の長さが$4$の正三角形があり，半径$1$の球の中心がこの三角形の周上を一周するとき，この球が通過する部分の体積を求めよ．

【４-A】　両端を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする長さ$k\text{（}k>1\text{）}$の棒を，その一端$\mathrm{P}$が半径$1$の円板の中心に一致するように，棒を円板に貼り付ける．この棒のついた円板を棒の両端$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ点$(0,1)\text{，}(0,1-k)$に一致するように$xy$平面上におき，その円板の周が$x$軸上を滑ることなく，$x$軸の正の向きに転がるように円板を転がすとき，$\mathrm{Q}$は下図のような曲線$C$を描く．次の問いに答えよ．

(1)　円板が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とすると，$x=\theta -k\sin \theta \text{，}y=1-k\cos \theta$と表せることを示せ．

(2)　円板が一定の速さで転がるとき，点$\mathrm{Q}$の速さが最大となるときの$\theta$を求めよ．

(3)　$k={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，この曲線$C$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４-B】　$a$を$0\leqq a<1$なる定数とし，数列$\{x_n\}$を

$x_1=1+a$

$x_{n+1}={\displaystyle \frac{{x_n}^2}{2x_n+a}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$0<x_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$となることを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_{n+1}}{{x_n}^p}}$が$0$でない有限の値となるような定数$p$を求め，さらにこの極限値を求めよ．

【５-A】　$2$つの異なる定まった複素数$\alpha \text{，}\beta$がある．自然数$n$と複素数$w$が与えられたとき，複素数$z_n$を

${\displaystyle \frac{z_n-\alpha }{\beta -\alpha }}=w^n$

で定める．$\alpha \text{，}\beta \text{，}{z}_n$の表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{P}}_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{P}}_1$および$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{P}}_2$が面積の等しい三角形をつくるための$w$の条件を求め，これを複素数平面上に図示せよ．

(2)　$\alpha =0\text{，}\beta =i$とし，$w$が(1)で求めた条件を満たしながら変わるとき，${\mathrm{P}}_2$の描く図形を図示せよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【５-B】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{P}(t,0)\text{（}t>1\text{）}$と円$C:x^2+y^2=1$がある．線分$\mathrm{AP}$が円$C$と$\mathrm{A}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AQ}$と円によって囲まれる領域のうち面積の小さい方を$D_1$とし，線分$\mathrm{AQ}$と$x$軸および円$C$によって囲まれる領域を$D_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．

(2)　$D_1$と$D_2$の面積が等しいとき，$t$を求めよ．

(3)　$D_1$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を$t$のできるだけ簡単な式で表せ．