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1998-10301-0201
1998 横浜国立大学 後期
工学部
易□ 並□ 難□
【1】 原点を O とする xy 平面上に曲線
C:y= -x2 +x+2
と 2 点 A (0 ,2) ,B (2 ,0) がある. 0<a< b< 2 とし, x 座標が a , b である C 上の 2 点をそれぞれ P , Q とする.次の問いに答えよ.
(1) 五角形 OAPQB の面積を a , b で表せ.
(2) (1)で求めた面積が最大となるような a , b を求めよ.
(編注)2022年名古屋市立大前期経済学部【1】で改変して活用
1998-10301-0202
【2】 次の問いに答えよ.
(1) x≧0 ,y≧0 のとき,つねに不等式
x+y +y≧ x+a⁢ y
が成り立つような正の定数 a の最大値を求めよ.
(2) a を(1)で求めた値とする. x≧0 ,y≧ , z≧0 のとき,つねに不等式
x+y+ z+y +z+ z≧ x+a⁢ y+b⁢ z
が成り立つような正の定数 b の最大値を求めよ.
1998-10301-0203
経営学部
【3】 a ,b は 0< a<b< 2 で b 2-a 2=2 を満たす. a+b= t とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) t のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) ∫ ab⁡ x⁢( x-1) 2⁢d x を t で表せ.
(3) a ,b を動かすとき,(2)の積分の値が最小となるような a , b を求めよ.
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【4】 f⁡( x)= a ⁢x+b x2 +1 は x= 2 で極値 1 をとる.次の問いに答えよ.
(1) a ,b を求めよ.
(2) 曲線 C: y=f⁡ (x ) と x 軸との交点を通り,傾き k の直線を l とする. 0<k < 6425 のとき, C と l とは異なる 3 点で交わることを示せ.
(3) 0<k< 64 25 のとき, C と l とで囲まれた 2 つの部分の面積の差の絶対値を S とする. k=4⁢ cos2⁡ t( 0<k < π2 ) とおき, S を t の式で表せ.
(4) limk→ +0⁡ S を求めよ.
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【5】 曲線
C:x=t -sin⁡t , y=1- cos⁡t ( 0<t< 2⁢π )
について,次の問いに答えよ.
(1) x 軸上の定点 (a ,0) ( 0<a< 2⁢π ) からの距離が最小となる C 上の点の座標を求めよ.
(2) C 上の点 P における接線に垂直で, P を通る直線を l とする. P からの距離が 1 となる l 上の 2 点のうち,その y 座標が小さい方を Q とする. P が C 上を動くとき, Q の描く曲線の第 1 象限に含まれる部分の長さを求めよ.