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1998-10361-0101
1998 金沢大学 前期 文系
教育,法,経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 3 次関数 f⁡ (x)= x3+ k⁢( x2+ x+1) について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡(x ) が極値をもつための定数 k の値の範囲を求めよ.
(2) f⁡(x ) が極値をとる x の値を α ,β (α <β ) とする.このとき, 4 点
A(α ,f⁡( α)) ,B( α,f⁡ (β)) ,C( β,f⁡ (β)) ,D( β,f⁡ (α))
を頂点とする長方形 ABCD が正方形になる k の値を求めよ.
(3) (2)で得られた正方形の 1 辺の長さを求めよ.
1998-10361-0102
【2】 O を原点とする空間に,点 A( 5,1, -1) を通り a →= (1, 2,1) を方向ベクトルとする直線 g と,点 B (6, -4,0 ) を通り b →= (1,- 1,-1 ) を方向ベクトルとする直線 h がある.いま,点 P ,Q がそれぞれ g ,h 上にあり,ベクトル PQ → は, g と h の両方に垂直となっている.次の問いに答えよ.
(1) P ,Q の座標を求めよ.
(2) OP→ と OQ → のなす角を θ とおくとき, cos⁡θ の値を求めよ.
(3) ▵OPQ の面積を求めよ.
1998-10361-0103
選択問題
【3】 複素数平面上で,複素数 α ,β ,γ を表す点をそれぞれ A ,B ,C とする.次の問いに答えよ.
(1) A ,B ,C が正三角形の 3 頂点であるとき,
α2+ β2+ γ2- α⁢β- β⁢γ -γ⁢ α=0 ⋯(*)
が成立することを示せ.
(2) 逆に,この関係式(*)が成立するとき, A=B =C となるか,または A ,B , C が正三角形の 3 頂点となることを示せ.
1998-10361-0104
【4】 O を原点とする xy 平面上に,方程式 3 ⁢x2 +2⁢ x⁢y- 3⁢ y2-4 =0 で与えられる曲線がある.この曲線を O の回りに角 θ だけ回転して得られる曲線 C の方程式が x⁢ y=1 であるという.次の問いに答えよ.
(1) θ (0 °≦θ <180° ) を求めよ.
(2) C 上の点 P の x 座標を α とおくとき, P における C の接線 l の方程式を α を用いて表せ.
(3) l と x 軸, y 軸との交点をそれぞれ A ,B とおくとき, ▵OAB の面積を求めよ.
1998-10361-0105
1998 金沢大学 前期 理系
理,医(医学科),薬,工学部
【1】 k は k> 0, k≠1 をみたし, θ は 0≦ θ≦ π 6 をみたす実数とする.次の問いに答えよ.
(1) 座標平面上で, 2 定点 A( 0,1) ,B( cos⁡θ, sin⁡θ ) からの距離の比が 1: k であるような点の軌跡は円となることを示し,その中心 (X, Y) および半径 r を k と θ を用いて表せ.
(2) θ は固定したままで, k のみを与えられた範囲で動かすとき, (X, Y) のえがく軌跡を求めよ.
(3) k ,θ を与えられた範囲でともに動かすとき, (X,Y ) の存在する領域を図示せよ.
1998-10361-0106
【2】 行列 A を A= ( 21 03 ) で与える.
実数 x ,y と自然数 n= 1, 2 , 3, ⋯ に対して, xn ,yn を
( xn y n )=A n⁢ ( x y)
により定める.ただし, An は A の n 個の積である.
(1) An= ( 2n 3n- 2n 03 n ) であることを示せ.
(2) 0≦x< 1, 0≦y< 1 の範囲で, xn- x と yn -y がともに整数となるような x ,y の組 (x, y) の個数を求めよ.
1998-10361-0107
【3】 0<h< 1 とする.
xy 平面上で,曲線 y= e- x2 と直線 y= h とで囲まれた図形を, y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を V⁡ (h) とする.次の問いに答えよ.
(1) V⁡(h ) を求めよ.
(2) 自然数 n= 1, 2, 3, ⋯ に対し,
2n> n ⁢(n+ 1)2
(3) h=2 -n (n =1 ,2 ,3 ,⋯ ) とするとき, limn →∞ ⁡V⁡ (2 -n ) を求めよ.
1998-10361-0108
【4】 次の問いに答えよ.
(1) 0≦θ< π 2 に対し,不等式
sin⁡θ≦ θ≦tan ⁡θ
(2) 正の実数 x と自然数 n= 1, 2, 3, ⋯ に対し,複素数 1+ x n⁢ i の偏角を θ n ( 0≦θ n<2 ⁢π ) とおくとき, limn →∞ ⁡n⁢ θn を求めよ.
(3) (2)で与えた複素数の n 乗 ( 1+ xn ⁢i ) n の実部を an とおくとき, limn →∞ ⁡a n を求めよ.
1998-10361-0109
【5】 点 A( 1,2, -1) と平面 α: 2⁢x- y+2⁢ z=1 があり, P は直線 x2= y+1= z-1 上の点とする.次の問いに答えよ.
(1) α に関して, A と対称な点 B の座標を求めよ.
(2) 3 点 A ,B ,P を通る平面を β とする. α と β の交線と直線 AP が平行になるような P の座標,およびそのときの β の方程式を求めよ.