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1998 金沢大学 前期 文系

教育,法,経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  3 次関数 f (x)= x3+ k( x2+ x+1) について,次の問いに答えよ.

(1)  f(x ) が極値をもつための定数 k の値の範囲を求めよ.

(2)  f(x ) が極値をとる x の値を α β α <β とする.このとき, 4

A(α ,f( α)) B( α,f (β)) C( β,f (β)) D( β,f (α))

を頂点とする長方形 ABCD が正方形になる k の値を求めよ.

(3) (2)で得られた正方形の 1 辺の長さを求めよ.

1998 金沢大学 前期 文系

教育,法,経済学部

易□ 並□ 難□

【2】  O を原点とする空間に,点 A( 5,1, -1) を通り a = (1, 2,1) を方向ベクトルとする直線 g と,点 B (6, -4,0 ) を通り b = (1,- 1,-1 ) を方向ベクトルとする直線 h がある.いま,点 P Q がそれぞれ g h 上にあり,ベクトル PQ は, g h の両方に垂直となっている.次の問いに答えよ.

(1)  P Q の座標を求めよ.

(2)  OP OQ のなす角を θ とおくとき, cosθ の値を求めよ.

(3)  OPQ の面積を求めよ.

1998 金沢大学 前期 文系

教育,法,経済学部

選択問題

易□ 並□ 難□

【3】 複素数平面上で,複素数 α β γ を表す点をそれぞれ A B C とする.次の問いに答えよ.

(1)  A B C が正三角形の 3 頂点であるとき,

α2+ β2+ γ2- αβ- βγ -γ α=0 (*)

が成立することを示せ.

(2) 逆に,この関係式(*)が成立するとき, A=B =C となるか,または A B C が正三角形の 3 頂点となることを示せ.

1998 金沢大学 前期 文系

教育,法,経済学部

選択問題

易□ 並□ 難□

【4】  O を原点とする xy 平面上に,方程式 3 x2 +2 xy- 3 y2-4 =0 で与えられる曲線がある.この曲線を O の回りに角 θ だけ回転して得られる曲線 C の方程式が x y=1 であるという.次の問いに答えよ.

(1)  θ 0 °θ <180° を求めよ.

(2)  C 上の点 P x 座標を α とおくとき, P における C の接線 l の方程式を α を用いて表せ.

(3)  l x 軸, y 軸との交点をそれぞれ A B とおくとき, OAB の面積を求めよ.

1998 金沢大学 前期 理系

理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

【1】  k k> 0 k1 をみたし, θ 0 θ π 6 をみたす実数とする.次の問いに答えよ.

(1) 座標平面上で, 2 定点 A( 0,1) B( cosθ, sinθ ) からの距離の比が 1: k であるような点の軌跡は円となることを示し,その中心 (X, Y) および半径 r k θ を用いて表せ.

(2)  θ は固定したままで, k のみを与えられた範囲で動かすとき, (X, Y) のえがく軌跡を求めよ.

(3)  k θ を与えられた範囲でともに動かすとき, (X,Y ) の存在する領域を図示せよ.

1998 金沢大学 前期 理系

理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A A= ( 21 03 ) で与える.

 実数 x y と自然数 n= 1 2 3 に対して, xn yn

( xn y n )=A n ( x y)

により定める.ただし, An A n 個の積である.

(1)  An= ( 2n 3n- 2n 03 n ) であることを示せ.

(2)  0x< 1 0y< 1 の範囲で, xn- x yn -y がともに整数となるような x y の組 (x, y) の個数を求めよ.

1998 金沢大学 前期 理系

理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

【3】  0<h< 1 とする.

  xy 平面上で,曲線 y= e- x2 と直線 y= h とで囲まれた図形を, y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を V (h) とする.次の問いに答えよ.

(1)  V(h ) を求めよ.

(2) 自然数 n= 1 2 3 に対し,

2n> n (n+ 1)2

が成立することを示せ.

(3)  h=2 -n n =1 2 3 とするとき, limn V (2 -n ) を求めよ.

1998 金沢大学 前期 理系

理,医(医学科),薬,工学部

選択問題

易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えよ.

(1)  0θ< π 2 に対し,不等式

sinθ θtan θ

が成立することを示せ.

(2) 正の実数 x と自然数 n= 1 2 3 に対し,複素数 1+ x n i の偏角を θ n 0θ n<2 π とおくとき, limn n θn を求めよ.

(3) (2)で与えた複素数の n ( 1+ xn i ) n の実部を an とおくとき, limn a n を求めよ.

1998 金沢大学 前期 理系

理,医(医学科),薬,工学部

選択問題

易□ 並□ 難□

【5】 点 A( 1,2, -1) と平面 α: 2x- y+2 z=1 があり, P は直線 x2= y+1= z-1 上の点とする.次の問いに答えよ.

(1)  α に関して, A と対称な点 B の座標を求めよ.

(2)  3 A B P を通る平面を β とする. α β の交線と直線 AP が平行になるような P の座標,およびそのときの β の方程式を求めよ.

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