1998　名古屋大学　前期MathJax

【１】　座標平面上に放物線$y-x^2+4$と直線$l:y=x+k$を考える．

1)　放物線と直線$l$が異なる$2$個の共有点を持つような$k$の範囲を求めよ．

2)　$k$は1)で求めた条件を満たすとして，さらに$k>0$とする．1)の二つの共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を最大にする$k$の値，およびそのときの面積を求めよ．

【２】　座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0)\text{，}\mathrm{D}(1,1)$を頂点とする正方形を考え，この正方形の頂点上を点$\mathrm{Q}$が$1$秒ごとに一つの頂点から隣の頂点に移動しているものとする．さらに，点$\mathrm{Q}$は，$x$軸と平行な方向の移動について確率$p\text{，}y$軸と平行な方向の移動について確率$1-p$で移動しているとする．最初に点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}$にいたとするとき，$n$秒後に頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}{c}_n$とする．

1)　$a_2\text{，}{c}_2\text{，}{a}_4\text{，}{c}_4$を求めよ．

2)　$a_{2n}$を求めよ．

【３】(a)　$N$を自然数とし，複素数$z=\cos \theta +i\sin \theta$は$z^N=1$を満たすとして，以下の級数和$S_1\text{，}{S}_2$の値を求めよ．ただし，ここで$i$は虚数単位$\text{（}{i}^2=-1\text{）}$である．

1)　$S_1=1+z+z^2+\cdots +z^{N-1}$

2)　$S_2=1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos (N-1)\theta$

【３】(b)　$2$つの実数$a\text{，}b(a\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}})$に対し，$A_1=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)$とし，$E$を単位行列とする．

1)　等式$A_2(E+2A_1)=-A_1$を満たす行列$A_2$を求めよ．

2)　自然数$n$に対して，等式$A_{n+1}(E+2A_n)=-A_n$により順に$A_2\text{，}{A}_3\text{，}\cdots$を定める．$A_n$を求めよ．

【１】　平面上に放物線$y=x^2$と直線$l:y=1$を考える．

1)　放物線上の点$(a,a^2)$での法線と直線$l$との交点を$\mathrm{P}$とし，その$x$座標を$b$とする．$b$を$a$で表せ．ただし，放物線上の点$\mathrm{Q}$での法線とは，$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$での接線と直交する直線のことである．

2)　放物線の異なる$3$法線が直線$l$上の$1$点$\mathrm{P}(b,1)$を通るような$b$の範囲を求めよ．

【３】(a)　$N$を自然数とし，複素数$z=\cos \theta +i\sin \theta$は$z^N=1$を満たすとして，以下の級数和$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$の値を求めよ．ただし，ここで$i$は虚数単位$\text{（}{i}^2=-1\text{）}$である．

1)　$S_1=1+z+z^2+\cdots +z^{N-1}$

2)　$S_2=1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos (N-1)\theta$

3)　$S_3=1+{\cos }^2\theta +{\cos }^{2}2\theta +\cdots +{\cos }^2(N-1)\theta$

【１】　曲線$y=\log x\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(a,\log a)\text{（}a>1\text{）}$での接線を$l$とし，$\mathrm{P}$から$x$軸へおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．さらに，接線$l$と$x$軸，および曲線$y=\log x$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$曲線と$x$軸，および線分$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．

1)　$S_1\text{，}{S}_2$を求めよ．

2)　$a\to \infty$の時の${\displaystyle \frac{S_1}{S_2\cdot \mathrm{PH}}}$の極限を求めよ．

【２】　座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0)\text{，}\mathrm{D}(1,1)$を頂点とする正方形を考え，この正方形の頂点上を点$\mathrm{Q}$が$1$秒ごとに一つの頂点から隣の頂点に移動しているとする．さらに，点$\mathrm{Q}$は，$x$軸と平行な方向の移動について確率$p\text{，}y$軸と平行な方向の移動について確率$1-p$で移動しているものとする．最初に点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}$にいたとするとき，$n$秒後に頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}{c}_n$とする．$a_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

【３】　平面上に放物線$y=x^2$と直線$l:y=k$を考える．

1)　放物線上の点$(a,a^2)$での法線と直線$l$との交点を$\mathrm{P}$とし，その$x$座標を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表せ．

2)　直線$l$上の点$\mathrm{P}(b,k)$を放物線の異なる$3$法線が通るような$b$の範囲を求めよ．

【４】(b)　平面上に楕円${\displaystyle \frac{x^2}{3^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2^2}}=1$と直線$l:y=x+k$を考える．このとき次の問に答えよ．

1)　この楕円と直線$l$が二つの共有点をもつために$k$が満たすべき条件を求めよ．

2)　$k$は1)の条件をみたすとし，さらに$k\ne 0$とする．1)における二つの共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を最大にする$k$の値，およびそのときの面積を求めよ．