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1998-10541-0101
1998 京都大学 前期
文系,理系共通
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 直角三角形に半径 r の円が内接していて,三角形の 3 辺の長さの和と円の直径との和が 2 となっている.このとき以下の問に答えよ.
(1) この三角形の斜辺の長さを r で表せ.
(2) r の値が問題の条件を満たしながら変化するとき,この三角形の面積の最大値を求めよ.
1998-10541-0102
文系
【2】 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC の辺 BC 上に点 P をとり,線分 BP の長さを x とする.
(1) 三角形 OAP の面積を x で表せ.
(2) P が辺 BC 上を動くとき三角形 OAP の面積の最小値を求めよ.
1998-10541-0103
理系はラジアン表示
【3】 a ,b は実数で a≠ b, a⁢b≠ 0 とする.このとき不等式
x -bx +a - x-a x+b > x+a x-b - x+b x-a
を満たす実数 x の範囲を求めよ.
1998-10541-0104
【4】 xy 平面上で放物線 y= x2 上に 2 点 A( a,a2 ) ,B( b,b2 )( a<b ) をとり,線分 AB と放物線で囲まれた図形の面積を s とする.点 P (t ,t2 ) を放物線上にとり,三角形 ABP の面積を S⁡ (P) とする. t が a< t<b の範囲を動くときの S⁡ (P) の最大値を S とするとき, s と S の比を求めよ.
1998-10541-0105
【5】 袋の中に青色,赤色,白色の形の同じ玉がそれぞれ 3 個ずつ入っている.各色の 3 個の玉にはそれぞれ 1 ,2 , 3 の番号がついている.これら 9 個の玉をよくかきまぜて袋から同時に 3 個の玉を取り出す.取り出した 3 個のうちに同色のものが他になく,同番号のものも他にない玉の個数を得点とする.たとえば,青 1 番,赤 1 番,白 3 番を取り出したときの得点は 1 で,青 2 番,赤 2 番,赤 3 番を取り出したときの得点は 0 である.このとき以下の問に答えよ.
(1) 得点が n になるような取り出し方の数を A⁡ (n) とするとき, A⁡(0 ), A⁡(1 ), A⁡(2 ), A⁡(3 ) を求めよ.
(2) 得点の期待値を求めよ.
1998-10541-0106
理系
配点35点
【2】 f⁡(x )=x2 +7 とおく.
(1) n は 3 以上の自然数で,ある自然数 a にたいして f⁡ (a) は 2n の倍数になっているとする.このとき f⁡ (a) と f⁡ (a+ 2n- 1) のうち少なくとも一方は 2 n+1 の倍数であることを示せ.
(2) 任意の自然数 n にたいして f⁡ (an ) が 2n の倍数となるような自然数 an が存在することを示せ.
1998-10541-0107
【3】 四面体 OABC の辺 OA 上に点 P , 辺 AB 上に点 Q , 辺 BC 上に点 R , 辺 CO 上に点 S をとる.これらの 4 点をこの順序で結んで得られる図形が平行四辺形となるとき,この平行四辺形 PQRS の 2 つの対角線の交点は 2 つの線分 AC と OB のそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ.
1998-10541-0108
【4】 a ,m は自然数で a は定数とする. xy 平面上の点 (a, m) を頂点とし,原点と点 (2 ⁢a,0 ) を通る放物線を考える.この放物線と x 軸で囲まれる領域の面積を S m , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を Lm とする.このとき極限値
limm→ ∞⁡ LmS m
を求めよ.ただし xy 平面上の格子点とはその点の x 座標と y 座標がともに整数となる点のことである.
1998-10541-0109
【6】 a を 0< a<1 を満たす定数として,曲線 y= log⁡(x -a) と x 軸と 2 直線 x= 1, x=3 , で囲まれる図形を x 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を V⁡ (a) とする.
(1) V⁡(a ) を求めよ.
(2) a の値が 0< a<1 の範囲で変化するとき, V⁡(a ) の最小値を求めよ.