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1998 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  α 0 でない複素数とする. β2= α となるような複素数 β がちょうど 2 個存在することを示せ.

1998 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上に放物線 y= x2 と点 B( 0,b) を考える.ただし b> 0 とする.

(1) 点 X ( t,t2 ) がこの放物線上を動くとき,線分 BX の長さの最小値を求めよ.

(2) (1)で求めた最小値が 1 となるように b をとる.このとき点 B (0, b) を中心とする半径 1 の円と放物線 y= x2 とは相異なる 2 P Q でそれぞれ共通の接線を持つことを示し,角 PBQ の大きさ(ただし 0° <PBQ< 180° とする)を求めよ.さらに角 PBQ に対応する円弧 PQ と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ.

1998 京都大学 後期

文系,理系共通問題

配点30点

理系は【2】,なお,理系では定積分が1つである

易□ 並□ 難□

【3】 関数 fn (x ) n=1 2 3

f1 (x)=4 x2 +1

fn (x)= 3x2 01 t fn -1 (t) dt+ 3 01 f n-1 (t) dt n =2 3

で帰納的に定義されている.この fn (x ) を求めよ.

1998 京都大学 後期

文系,理系共通

配点は文系30点,理系35点

易□ 並□ 難□

【4】  θ 0° θ< 360° のとき,次の問に答えよ.

(1) 不等式 2 sin3 θ-2 cos2 θ-1> 0 を満たす θ の範囲を求めよ.

(2) 定数 a がいろいろな値を取るとき,方程式

2sin 3θ- 2cos 2θ- 1=a

の解の個数がどのように変わるかを調べよ.

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文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】  a b p q はすべて自然数で,

p2+ q2a = pq b

を満たしている. a b の最大公約数が 1 のとき以下の問に答えよ.

(1)  pq b で割り切れることを示せ.

(2)  a+2 b は自然数であることを示せ.

1998 京都大学 後期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  2 次の正方行列 X Y X Y=Y X のとき交換可能であるという. 2 次の正方行列 A B は交換可能ではないが, A A B は交換可能であり A B A も交換可能であるとする.このとき,

(1)  A=( a bc d ) とするとき, ad- bc= 0 を示せ.

(2)  O を零行列とするとき, A 2=O であることを示せ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】  A1 A2 A3 xy 平面上の点で同一直線上にはないとする. 3 つの一次式 f ( x,y) =a1 x+b 1y+ c1 f 2( x,y) =a2 x+b 2y+ c2 f3 (x ,y )=a3 x+ b3y +c3 は,方程式 f 1( x,y) =0 f 2( x,y) =0 f3 (x, y)=0 によりそれぞれ直線 A 2A3 A3 A1 A1 A3 を表すとする.このとき実数 u v をうまくとると方程式

uf1 (x, y)f 2(x ,y)+v f2 (x,y )f3 (x, y)+f 3(x ,y) f1( x,y)= 0

3 A1 A2 A3 を通る円を表すようにできることを示せ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】  a 0< a<π を満たす定数とする. n=0 1 2 に対し, nπ <x<( n+1) π の範囲に

sin(x +a)= xsin x

を満たす x がただ一つ存在するので,この x の値を xn とする.

(1) 極限値 lim n ( xn-n π) を求めよ.

(2) 極限値 lim n n (xn- nπ) を求めよ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面上に 2 n 個の点 Ai (i, 1) Bi( i,2) i =1 2 n がある.上下に隣り合う 2 A i Bi を結ぶ線分を「縦辺」( i= 1 2 n ),左右に隣り合う 2 Ai Ai+1 および B i Bi+ 1 を結ぶ線分を「横辺」( i= 1 2 n- 1 )と言う.すべての横辺には,各辺独立に,確率 p で右向きの矢印が,確率 1- p で×印が描かれている.またすべての縦辺には常に上向きの矢印が描かれている.このとき点 A 1( 1,1) から出発して,矢印の描かれている辺だけを通り,矢印の方向に進んで,点 B n( n,2) に到達する経路が少なくとも 1 本存在する確率を Qn とする.以下の問に答えよ.

(1)  Q2 Q3 を求めよ.

(2)  Qn を求めよ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】 自然数 n に対し, In= 0π4 cosn 2θ sin2 θd θ とする.

(1)  I2 の値を求めよ.

(2)  xy 平面上で原点 O から点 P( x,y) への距離を r 軸の正の方向と半直線 OP のなす(弧度法による)角を θ とする.方程式 r= sin2 θ (0 θ π2 ) で表される曲線を,直線 y= x の周りに回転して得られる曲面が囲む立体の体積を V とするとき,

V=3 πI3 +2π I2

と表されることを示せ.

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