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1998-10561-0101
1998 大阪大学 前期
文系
配点率30%
易□ 並□ 難□
【1】 平面上の 4 点 O ,P ,Q ,R が条件
OP=2 ,OQ=3 ,∠ POQ=60° ,
OP→ +OQ→ +OR→ =0→
を満たすとする.線分 OR の長さと cos⁡ ∠POR の値を求めよ.
1998-10561-0102
配点率35%
【2】 単位円周上の 3 点
P(cos ⁡θ,sin ⁡θ) ,Q( cos⁡2⁢ θ,sin⁡ 2⁢θ ),R (cos⁡ 4⁢θ, sin⁡4⁢ θ)
を考える. θ が 0° から 360° まで動くとき
PQ2+ QR2
がとる値の範囲を求めよ.
1998-10561-0103
【3】 放物線 y= x2+ 1 上に点 P をとる.原点 O と P を結ぶ線分 OP を
t2: (1 -t 2)( 0<t <1 )
に内分する点を Q とする.次の問いに答えよ.
(1) 点 P が放物線上を動くとき点 Q が描く曲線 C の方程式を求めよ.
(2) 放物線 y= x2+ 1 と曲線 C が囲む図形の面積 S を求めよ.
(3) 0<t< 1 における S の最大値を求めよ.
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理系
格子辺の例
【1】 座標平面において, x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点という.また, 2 つの格子点を結ぶ長さ 1 の線分から両端の点を除いたものを格子辺という.次の問いに答えよ.
(1) 点 P ( 630,5400 ) を通る直線 y= a⁢x ( a は定数)は 0≦ x≦630 の範囲で何個の格子辺と交わるか.
(2) n を 2 以上の整数とする.点 P ( 630,5400 ) を通る曲線 y= b⁢xn ( b は n により定まる定数)は 0≦ x≦630 の範囲で何個の格子辺と交わるか.
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【2】 n を 1 以上の整数とする. n 次の整式
f⁡(x )=a0 ⁢xn +a1 ⁢x n-1 +a2 ⁢xn -2+ ⋯+a k⁢x n-k +⋯+ an- 1⁢x +an
とその導関数 f′ ⁡(x ) の間に
n⁢f⁡ (x)=( x+p)⁢ f′⁡ (x)
という関係があるとする.ただし, p は定数である.このとき
f⁡(x )=a0 ⁢( x+p) n
であることを示せ.
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【3】(1) a を 1 より大きい実数とする. 0 以上の任意の実数 x に対して次の不等式が成り立つことを示せ.
log⁡2+ x2 ⁢ loga≦log ⁡(1+ ax)≦ log⁡2+ x2 ⁢ log⁡a+ x2 8⁢ (log ⁡a)2
ただし,対数は自然対数である.
(2) n=1 ,2 ,3 ,⋯ に対して
an= ( 1 +3n 2 ) n
とおく.(1)の不等式を用いて極限
limn→ ∞⁡ an
を求めよ.
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【4】 平面上において, 7 点 A , P , Q , R , S , R ′ , S′ を右図のようにとる.ただし,
AP=a , PQ=b , QR =Q R ′ =c , RS= R′ S ′=d ,
∠APQ=∠ SRQ =∠ S′ R ′Q = α ( 0≦ α≦π )
∠RQP =∠ PQR′ =β ( 0≦β ≦π )
である.このとき
AS2- A S′ 2
を sin⁡ α ,sin⁡ β および a ,b , c ,d を用いて表せ.
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【5】 座標空間において
平面 z= 2 上にある半径 2 , 中心 (0, 0,2 ) の円を C1
平面 z= -2 上にある半径 2 , 中心 (0, 0,- 2) の円を C2
とする.また,空間内の点 P( x,y,z ) に対し
円 C1 上を動く点 Q と P の距離の 最小値 を m
円 C2 上を動く点 R と P の距離の 最大値 を M
とする.
次の問いに答えよ.
(1) r=x 2+y 2 とおくとき, m と M を r および z で表せ.
(2) |M- 2⁢6 | ≧m という条件を満たす点 P の範囲を H とする.図形 H の体積を求めよ.