1998　神戸大学　前期MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}2& a\\ b& 1\end{array}\right)$によって表される一次変換$f$によって，平面全体が直線$y=mx\text{（}m\ne 0\text{）}$に移されているとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を$m$を用いて表し，原点を中心とする半径$1$の円周が$f$によりどんな線分に移されるか答えよ．

(2)　(1)で求めた線分の長さを最小にする$m$の値と，そのときの線分の長さを求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　$z$が虚数で$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$が実数のとき$|z|$の値$a$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$に対して，$z$が条件$|z|=a$をみたしながら動くとき$w={(z+\sqrt{2}+\sqrt{2}i)}^4$の絶対値と偏角の動く範囲を求めよ．

【３】　$a>0$とする．関数$f(x)=|x^3-3a^{2}x|$の$-1\leqq x\leqq 1$における最大値を$M(a)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$M(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$M(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　座標空間内の$8$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{P}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{R}(2,2,1)\text{，}$$\mathrm{S}(0,2,1)$を頂点とする直方体を考える．次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{D}=(x,y,1)$を面$\mathrm{PQRS}$上の点とするときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$x\text{，}y$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$がベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$と直交するための条件を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CQ}}$である$D$の中で$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|$が最小となるような$\mathrm{D}$を与える$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　$0<a<4$とし，座標平面上の$4$点$(0,0)\text{，}(a,0)\text{，}(a,4-a)\text{，}(0,4-a)$を頂点とする長方形の内部を$I_a$とする．$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{x}}$をみたす$I_a$の点$(x,y)$全体のなす図形の面積を$S(a)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$S(a)$の最大値を求めよ．

【３】　行列$\left(\begin{array}{cc}2& a\\ b& 1\end{array}\right)$によって表される一次変換$f$によって，平面全体が直線$y=mx\text{（}m\ne 0\text{）}$に移されているとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を$m$を用いて表し，原点を中心とする半径$1$の円周は$f$によりどんな線分に移されるか答えよ．

(2)　(1)で求めた線分の長さを最小にする$m$の値と，そのときの線分の長さを求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)\text{，}{B}_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{，}{B}_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$とおくとき$A{B}_1-B_{1}A$と$A{B}_2-B_{2}A$を計算せよ．

(2)　$3\times 3$行列$A$で，任意の$3\times 3$行列$B$に対して$AB=BA$をみたすものをすべて求めよ．

【５】　$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．一辺の長さが$1$正方形の紙の$4$つのすみから一辺の長さが$x$の正方形を切り取りふたのない箱$\mathrm{A}$を作る．さらに，切り取った一辺の長さが$x$の正方形の$4$つのすみをそれぞれ切り取り，$\mathrm{A}$と相似なふたのない箱${\mathrm{B}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$を作る．次の各問に答えよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$の容積$f(x)$を最大にする$x$の値$a$を求めよ．

(2)　箱${\mathrm{B}}_1$の容積$g(x)$を最大にする$x$の値$b$を求めよ．

(3)　方程式$f^{\prime }(x)+4g^{\prime }(x)=0$が区間$a<x<b$に解を持つことを示せ．

【６】　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで$0$または$1$の一文字からなる信号を送る．$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の間に中継点を$2n-1$箇所作り$\mathrm{AB}$間を$2n$個の小区間に分割すると，一つの区間において$0$と$1$が逆転して伝わる確率は${\displaystyle \frac{1}{4n}}$である．このとき$\mathrm{A}$地点を発した信号$0$が$\mathrm{B}$地点に$0$として伝わる確率を$P_{2n}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　偶数回の逆転があると，$\mathrm{A}$地点を発した信号$0$が$\mathrm{B}$地点に$0$として伝わることに注意して$P_2$を求めよ．

(2)　${(a+b)}^{2n}+{(a-b)}^{2n}=2{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{2n}C_{2k}{a}^{2n-2k}{b}^{2k}$を示せ．

(3)　$P_{2n}$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{2n}$を求めよ．