1998　岡山大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は初項と漸化式

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されている．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【２】　$f(x)=-ax(x-2b)$とする．ただし$a>0\text{，}b>0$とする．

(1)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=a{x}^2$とで囲まれた部分の面積$S$を$a$と$b$の式で表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$の頂点$\mathrm{P}$が直線$3x+2y=6$の上にあるとき，面積$S$の最大値を求めよ．

【３】　$f(x)=x^3+3a{x}^2+3(a^2-1)x$とする．ただし$a$は定数とする．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，常に$f(x)\geqq 0$となるような$a$の範囲を求めよ．

【４】　点$\mathrm{A}$は原点$\mathrm{O}$から出発して，サイコロを振って出た目に応じて複素平面上を動く．ただし，$\mathrm{A}$の表す複素数が$z$のとき，出た目が$k\text{（}1\leqq k\leqq 6\text{）}$であれば$\mathrm{A}$は$z+\cos {\displaystyle \frac{(k-1)\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{(k-1)\pi }{3}}$を表す点に移るものとする．ただし$\pi$は円周率とする．

(1)　サイコロを$2$回振ったときに，$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$に戻ってくる確率を求めよ．

(2)　サイコロを$3$回振ったときに，$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$に戻ってくる確率を求めよ．

(3)　サイコロを$4$回振ったときに，はじめて$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$に戻ってくる確率を求めよ．

【４】　$a$は定数とし，

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ a& 1\end{array}\right)$

とする．原点を通る直線で一次変換$A$によって自分自身にうつされるものが$2$本あるとする．

(1)　$a$のみたす条件を求めよ．

(2)　$A$によって自分自身にうつされる$2$直線が直交するときの$a$の値を求めよ．

【１】　列ベクトル$u=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$と$v=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$の内積を$u_1{v}_1+u_2{v}_2$と定める．$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$2\times 2$行列とする．

(1)　列ベクトル$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}{e}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$に対して，列ベクトル$A{e}_1\text{，}A{e}_2$の内積が$0$であるための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の式で表せ．

(2)　列ベクトル$f_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}{f}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$に対して，列ベクトル$A{f}_1\text{，}A{f}_2$の内積が$0$であるための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の式で表せ．

(3)　$A$が(1)，(2)の条件をみたすとき，内積が$0$である任意の$2$つの列ベクトル$u\text{，}v$に対して，$Au\text{，}Av$の内積が$0$となることを示せ．

《編注》原典でベクトルに矢印がなかった．

【２】　$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x(t),y(t))$は

$x(t)=f(t)\cos t\text{，}y(t)=f(t)\sin t$

で与えられているとする．ただし$f(t)$は微分可能で$f^{\prime }(t)$は連続とする．$t=a$から$t=b$までに点$\mathrm{P}$が動く道のりを$L$とする．

(1)

$L={\displaystyle {\int }_a^b}\sqrt{{\{f(t)\}}^2+{\{f^{\prime }(t)\}}^2}dt$

が成り立つことを示せ．

(2)

$L\leqq {\displaystyle {\int }_a^b}\{|f(t)|+|f^{\prime }(t)|\}dt$

が成り立つことを示せ．

(3)　$f(t)=e^{-\sqrt{t}}\text{，}a=1\text{，}b=4$のとき，(2)の不等式を用いて

$L\leqq {\displaystyle \frac{5}{e}}-{\displaystyle \frac{7}{e^2}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　曲線$C$と$D_a$を次のように定める．

$C:$放物線$y=x^2$

$D_a:$中心が$(-1,a)$で$2$点$\mathrm{A}(-2,0)$と原点$\mathrm{O}$を通る円

(1)　不等式$x>0$によって表される領域において$D_a$が$C$と共有点をもつための$a$の条件を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が第$1$象限の$C$上を動くとする．$\angle \mathrm{APO}$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの$\sin \angle \mathrm{APO}$の値を求めよ．

【４】　複素平面上で

$z_0=2(\cos \theta +i\sin \theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$z_1={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{4}}{z}_0$

$z_2=-{\displaystyle \frac{1}{z_0}}$

を表す点をそれぞれ${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．

(1)　$z_1$を極形式で表せ．

(2)　$z_2$を極形式で表せ．

(3)　原点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の$4$点が同一円周上にあるときの$z_0$の値を求めよ．

【４】　当たりくじの出たあとに当たりくじの出る確率は${\displaystyle \frac{1}{20}}\text{，}$はずれくじの出たあとに当たりくじの出る確率は${\displaystyle \frac{1}{10}}$になるように設定されたくじがある．$n$回目にくじを引いたときに，当たりくじの出る確率を$p_n$とおく．ただし$p_1={\displaystyle \frac{1}{10}}$とする．

(1)　$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$p_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$n$回くじを引いたとき，当たりくじが出る回数の期待値を求めよ．