1998　九州大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2-2px$上の点$(t,t^2-2pt)$における接線を$y$軸方向に$b$だけ平行移動した直線を$l(t,b)$とする．

(1)　直線$l(t,b)$の方程式を求めよ．

(2)　この放物線と直線$l(t,b)$とが，$x$座標が正の$2$点で交わるための$t\text{，}b$の範囲を求めよ．

(3)　放物線と直線$l(t,b)$とが$2$点で交わるとき，これらが囲む図形の面積$S$を求めよ．

(4)　(3)の図形の面積$S$を直線$x=u$で$2$等分したい．$u$を求めよ．

《編注》「放物線」や「点で交わる」などの表現が一定していないとの指摘があったが，原文通りにしてある．

【２】　右図のように円周を$12$等分する点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}\text{，}\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}$が与えられている．

　これらの中から相異なる$3$点を選んで線分で結ぶと三角形がえられる．たとえば，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{I}$を選べば，図のような三角形がえられる．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　正三角形を与えるような$3$点の選び方の総数を求めよ．

(2)　二等辺三角形を与えるような$3$点の選び方の総数を求めよ．

(3)　直角三角形を与えるような$3$点の選び方の総数を求めよ．

(4)　$3$点を選んでえられる三角形のうち，互いに合同でないものは全部でいくつあるか．

【３】(1)　$x\geqq y\geqq 0$のとき，不等式${\displaystyle \frac{x}{1+x}}\geqq {\displaystyle \frac{y}{1+y}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\text{①}$　不等式${\displaystyle \frac{|x|}{1+|x|}}+{\displaystyle \frac{|y|}{1+|y|}}+{\displaystyle \frac{|z|}{1+|z|}}\geqq {\displaystyle \frac{|x+y+z|}{1+|x+y+z|}}$が成り立つことを示せ．

$\text{②}$　$\text{①}$の不等式で等号が成り立つのはどのような場合か調べよ．

【４】(1)　自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，次の等式が成り立つことを示せ．

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

(2)　辺の長さ$1$の正三角形のタイルをいくつか用意して，辺の長さが自然数$m$の正三角形をタイルで張りつめたい．

$\text{①}$　$m=2\text{，}3\text{，}4$のとき，どのようにタイル張りすれば良いか図示せよ．

$\text{②}$　一般に，辺の長さ$m$の正三角形をタイルで張りつめるのに必要なタイルの個数を$m$の式で表し，その式が成り立つ理由を述べよ．

(3)　辺の長さ$1$の正三角形を底面とする高さ$1$の正三角柱のブロックをいくつか用意して，すき間なく並べて高さ$n$の正三角柱の台を作る．このような台を$n$段積み上げ，高さ$n$の台を作る．この台を真横から見たとき右図のように見えたという．ただし，図の小四角形はすべて辺の長さ$1$の正方形である．このとき台全体の体積を求めよ．

【５】　次のBASICによるプログラムを実行するとき，以下の問に答えよ．

10  INPUT N

20  S=0

30  M=2*INT(N/2)+1

40  FOR K=1 TO M STEP 2

50  X=N-K*INT(N/K)

60  IF X>0 THEN GOTO 80

70  S=S+K

80  NEXT K

90  PRINT S

100 END

(1)　入力が$12$のとき出力はいくらか．

(2)　出力が$1$となるような自然数の入力がどのような数か．

(3)　範囲$2\leqq N\leqq 50$の自然数$N$を入力するとき，出力が$1$より大きな奇数となる$N$をすべて求めよ．

【６】　辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおき，線分$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{CO}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．（ただし，$m\text{，}n>0$とする）．

(1)$\text{①}$　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

$\text{②}$　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．

$\text{③}$　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が垂直かどうかを調べよ．

(2)$\text{①}$　$m=n$のとき点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$は同一平面上にあることを示せ．

$\text{②}$　このとき$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{RS}$の交点を$\mathrm{G}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

$\text{③}$　$\mathrm{G}$は正四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心であることを示し，その球の半径を求めよ．

【７】　$k$を正の実数とするとき，方程式

$x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=0$

の$3$個の解を$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$とし，それらを複素数平面上の点と見なす．

(1)　$x=1$は上の方程式の解であるかどうかを調べよ．

(2)　$3$点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$が一直線上にあるような$k$の値を求めよ．

(3)　$3$点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$が直角三角形をなすような$k$の値を求めよ．

(4)　$3$点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$を原点のまわりに角$\theta$だけ回転してえられる$3$点を$w_1\text{，}{w}_2\text{，}{w}_3$とする．$w_1\text{，}{w}_2\text{，}{w}_3$およびそれらと共役な点$\overline{w_1}\text{，}\overline{w_2}\text{，}\overline{w_3}$とが，原点中心の正六角形の頂点となるとき，$k$および$\theta \text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$の値を求めよ．

【８】　$1$から$n$までの数字を書いた玉がそれぞれ$2$個ずつ，全部で$2n$個入っている袋がある．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すことを考える．取り出した玉の数字の大きい方を$X\text{，}$小さい方を$Y$とする．ただし同じ数字のときはその数字を$X$および$Y$（すなわち$X=Y$）とする．

(1)　確率$P(X\leqq k)$および$P(Y\geqq k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を求めよ．

(2)　確率$P(X=k)$および$P(Y=k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を求めよ．

(3)　$n=4$のとき$X-Y$の期待値$E(X-Y)$を求めよ．

(4)　一般の$n$について$X+Y$の期待値$E(X+Y)$を求めよ．

【１】　以下において，$f(x)$はすべての実数$x$において微分可能な関数とし，$F(x)=e^{x}f(x)$とおく．ただし，設問中の$e$はいずれも自然対数の底である．

(1)　定数関数でない関数$f(x)$で

条件(A)「すべての$x$に対して$f(x+1)=f(x)$である」

をみたすものの例をあげよ．

(2)　関数$f(x)$が

条件(B)「すべての$x$に対して$f^{\prime }(x)+f(x)\leqq 0$である」

をみたすとき，$a<b$ならば$F(a)\geqq F(b)$であることを示せ．

(3)　関数$f(x)$が(1)の条件(A)をみたすとき，$F(x+n)$（ただし，$n$は正の整数）を$F(x)$を用いて表せ．

(4)　関数$f(x)$が(1)，(2)の条件(A)，(B)をともにみたすとする．

$\text{①}$　$f(c)\geqq 0$となる$c$が存在すれば，$f(c)=0$であることを示せ．

$\text{②}$　ある$c$で$f(c)=0$であれば，すべての$x$で$f(x)=0$となることを示せ．

【３】　平面上の曲線$C$が媒介変数$t$を用いて

$x=\sin t-t\cos t\text{，}y=\cos t+t\sin t\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

で与えられている．

(1)　曲線$C$の長さを求めよ．

(2)　曲線$C$上の各点$\mathrm{P}$において，$\mathrm{P}$における接線と$\mathrm{P}$で直交する直線を考える．この直線上の点で原点までの距離が最短となる点は，$\mathrm{P}$を動かすときどんな図形を描くか．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}t\sin 2tdt$を求めよ．

(4)　曲線$C$と$y$軸および直線$y=-1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【６】　右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$において，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AD}$の交点$\mathrm{F}\text{，}$直線$\mathrm{BD}$と直線$\mathrm{EF}$の交点$\mathrm{R}\text{，}$直線$\mathrm{RC}$と直線$\mathrm{AB}$の交点$\mathrm{G}$がえられたとする．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{GE}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{AE}}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\mathrm{G}$が$\mathrm{AE}$の中点で，${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DF}}}=2$であるとき，$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{CD}=b$とおく．次の条件をみたす$x\text{，}y\text{，}z$の値を求めよ．

$\text{①}$　$\mathrm{EB}=xa$

$\text{②}$　$\mathrm{EC}=yb$

$\text{③}$　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$a=zb$

【７】　辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおき，線分$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{CO}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．（ただし，$m\text{，}n>0$とする）．

(1)$\text{①}$　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

$\text{②}$　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が垂直かどうかを調べよ．

(2)$\text{①}$　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるときの$m\text{，}n$の関係を求めよ．

$\text{②}$　このとき$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{RS}$の交点を$\mathrm{G}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

$\text{③}$　$\mathrm{G}$は正四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心であることを示し，その球の半径を求めよ．

【８】　$k$を実数とするとき，方程式

$x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=0$

の解を$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$とし，それらを複素数平面上の点と見なす．

(1)　$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$が一直線上にあるような$k$の値を求めよ．

(2)　$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$が直角三角形をなすような$k$の値を求めよ．

(3)　$3$点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$を原点のまわりに角$\theta$だけ回転してえられる$3$点を$w_1\text{，}{w}_2\text{，}{w}_3$とする．$w_1\text{，}{w}_2\text{，}{w}_3$およびそれらと共役な点$\overline{w_1}\text{，}\overline{w_2}\text{，}\overline{w_3}$とが，原点中心の正六角形の頂点となるとき，$k$および$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$の値を求めよ．

【９】　$3$桁の自然数$N=100a+10b+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は，$1\leqq a\leqq 9\text{，}0\leqq b\leqq 9\text{，}0\leqq c\leqq 9$をみたす整数）を考える．

(1)　平方数かつ奇数である$N$で，$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが$x$軸と接するようなものをすべて求めよ．

(2)　命題「$N$および$a$が平方数のとき$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフは$x$軸と接する．」

は正しいか．正しければそれを示し，正しくなければ反例をあげよ．

(3)　ある$N$について，$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフは座標が整数である相異なる$2$点で$x$軸と交わり，グラフと$x$軸とで囲まれる部分の面積が$4$となる．このときの$N$を求めよ．

【10】(1)　平面上に半径が$R\text{，}r\text{（}R>r\text{）}$の$2$円があり，それらの中心間の距離が$l$であるとする．これらの$2$円の円周が共有点をもつための必要十分条件を$R\text{，}r\text{，}l$を用いて表せ．

(2)　座標平面上で$x$軸を準線とし，定点$\mathrm{A}(0,a)$を通る放物線について考える．ただし，$a>0$とする．

$\text{①}$　そのような放物線の焦点$\mathrm{F}(s,t)$の全体はどのような図形を描くか．

$\text{②}$　$x$軸上にない点$\mathrm{P}(p,q)$がそのような放物線上の点であるための必要十分条件を求めよ．