1998　東京都立大　前期MathJax

【１】　$10$進法で表した$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の正の整数のうち，$333\text{，}334\text{，}335$等のように各位の数が$3\text{，}4\text{，}5$のいずれかであるもの全体の集合を$\mathrm{S}$とする．さらに正の整数$d$に対し，$\mathrm{S}$に含まれる数で$d$で割り切れるものの個数を$n(d)$とする．このとき，$n(2)\text{，}n(3)\text{，}n(4)\text{，}n(5)\text{，}n(6)$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$C:y=x^2$を用いて正の数の列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を次のように定める．

(ⅰ)　まず$a_1=a>0$を与えられた数とする．

(ⅱ)　$a_j$に対し，曲線$C$と$x$軸と直線$x=a_j$で囲まれる図形の面積を$A_j$とし，$a_k\text{（}n>k\geqq 1\text{）}$が定まったときに$a_{k+1}$を$A_{k+1}=8A_k$であるように定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r_j={\displaystyle \frac{a_{j+1}}{a_j}}$とおくとき，$r_j$を求めよ．

(2)　和$S_n=A_1+A_2+\cdots +A_n$を求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{O}$を中心に持つ半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．ベクトル間の関係式

$3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+4\overrightarrow{\mathrm{OB}}-5\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値を求めよ．

(2)　$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【４】　実数係数の多項式$f(x)$と$g(x)$は次の関係を満たすとする．

$f(x)=x-{\displaystyle {\int }_{-1}^2}g(t)dt\text{，}g(x)=3+2{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

(1)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^a}g(x)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$となる最小の実数$a$を求めよ．

【１】　整式$f(x)$について恒等式$f(x^2)=x^{3}f(x+1)-2x^4+2x^2$が成り立つとする．

(1)　$f(0)\text{，}f(1)\text{，}f(2)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の次数を求めよ．

(3)　$f(x)$を決定せよ．

【２】　$xy$平面上の$3$本の直線

$l_1:x-y+2=0\text{，}{l}_2:x+y-14=0\text{，}{l}_3:7x-y-10=0$

で囲まれる$3$角形に内接する円の方程式を求めよ．

【３】　実数係数の多項式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-2$について，$f(2)=0$であり，関数$y=f(x)$の値が$x$の増加にともなって常に増加するとする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2$のグラフの交点をすべて求め，これらのグラフの概形を描け．

(3)　これら$2$本の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】(1)　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が関係式$|x+2y|+x=c$を満たしながら動くとする．ただし$c$は定数である．特に$c=2$及び$c=-2$の場合に点$\mathrm{P}$が描く図形の概形を同一の座標平面上に図示せよ．

(2)　実数$t$に対して

$f(t)=|\cos t+2\sin t|+\cos t$

が取る値の最大値と最小値を求めよ．

【２】　高さ$h\text{，}$上底の半径$a\text{，}$下底の半径$b\text{（}a<b\text{）}$の直円錐台（直円錐の頭部が底面に平行な平面によって切り取られたもの）がある．これのなかに半径$r\text{（}a\leqq r<b\text{）}$の直円柱を内接させる．ただし，円柱の軸は直円錐台の軸と一致し，その下底は直円錐台の下底にあり，その上底は直円錐台の側面に接するものとする．円柱の半径$r$が$a$から$b$まで変化するときに，円柱の体積$V$が最大となる$r$を求めよ．

【３】　実数$a$についての関数$f(a)$を

$f(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|(x-a)(x+a)|dx$

によって定義する．

(1)　$f(-a)=f(a)$を示せ．

(2)　$f(a)$を計算せよ．

(3)　$f(a)$の最小値を求めよ．