1998　東北学院大学　経済学部経済学科MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)=x^2-10x+a$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a\leqq x\leqq a+1$における$f(x)$の最大値$g(a)$を求めよ．

(ⅱ)　$a\leqq x\leqq a+1$における$f(x)$の最小値$h(a)$を求めよ．

【２】　座標平面上に直線$l:3x+4y=5$がある．$l$上の点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を結ぶ線分上に$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=1$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．

(ⅰ)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$(x,y)\text{，}(X,Y)$とするとき，$x$と$y$をそれぞれ$X$と$Y$で表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が$l$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【３】　曲線$y=2x^3+a{x}^2+4ax+3$上の$x$座標が$a$である点における接線の傾きが$4$であるとする．ただし，$a$は負の定数とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=2x^3+a{x}^2+4ax+3$の増減を調べ，極値を求めよ．

【２】(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が実数で$a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+da$ならば$a=b=c=d$であることを証明せよ．

(ⅱ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が実数であるとき

$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{d}^2+d^2{a}^2\geqq a{b}^{2}c+b{c}^{2}d+c{d}^{2}a+d{a}^{2}b$

であることを証明せよ．

(ⅲ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が正の実数で

$a^4+b^4+c^4+d^4=a{b}^{2}c+b{c}^{2}d+c{d}^{2}a+d{a}^{2}b$

ならば$a=b=c=d$であることを証明せよ．

【３】　初項が$1998\text{，}$第$100$項が$1305$である等差数列$\left\{a_n\right\}$がある．

(ⅰ)　公差$d$と一般項$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　初項から第$n$項までの和が最大になるような$n$を求めよ．

(ⅲ)　$a_n$が$2$桁の自然数となるような$a_n$は全部でいくつあるか．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を三等分する点を，$\mathrm{B}$に近い方から$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{AE}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{GH}$と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，比$\mathrm{AI}:\mathrm{IC}$を求めよ．

【３】　方程式$x^2+x+1=0$の解の$1$つを$\alpha \text{，}$方程式$x^4+x^3+x^2+x+1=0$の解の$1$つを$\beta$とする．

(ⅰ)　${\alpha }^3=1\text{，}{\beta }^5=1$を示せ．

(ⅱ)　$\gamma =\alpha \beta$とするとき，${\gamma }^{14}+{\gamma }^{13}+\cdots +\gamma +1$の値を求めよ．