Mathematics
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1998-12441-0101
1998 東北学院大学 経済学部経済学科
数学I・II,数学I・A,数学I・B共通
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 2 次関数 f⁡ (x)= x2- 10⁢x+ a について次の問いに答えよ.
(ⅰ) a≦x≦ a+1 における f⁡ (x) の最大値 g⁡ (a) を求めよ.
(ⅱ) a≦x≦ a+1 における f⁡ (x) の最小値 h⁡ (a) を求めよ.
1998-12441-0102
数学I・数学II
【2】 座標平面上に直線 l:3 ⁢x+4 ⁢y=5 がある. l 上の点 P と原点 O を結ぶ線分上に OP ⋅OQ= 1 となるように点 Q をとる.
(ⅰ) P ,Q の座標をそれぞれ (x, y), (X,Y ) とするとき, x と y をそれぞれ X と Y で表せ.
(ⅱ) P が l 上を動くとき,点 Q の軌跡を求めよ.
1998-12441-0103
【3】 曲線 y= 2⁢x3 +a⁢ x2+ 4⁢a⁢ x+3 上の x 座標が a である点における接線の傾きが 4 であるとする.ただし, a は負の定数とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) a の値を求めよ.
(ⅱ) 関数 y= 2⁢x 3+a ⁢x2 +4⁢ a⁢x+ 3 の増減を調べ,極値を求めよ.
1998-12441-0104
数学I・数学A
【2】(ⅰ) a ,b ,c ,d が実数で a 2+b 2+c 2+d 2=a⁢ b+b⁢ c+c⁢ d+d⁢ a ならば a= b=c= d であることを証明せよ.
(ⅱ) a ,b ,c ,d が実数であるとき
a2⁢ b2+ b2⁢ c2+ c2⁢ d2+ d2⁢ a2≧ a⁢b2 ⁢c+b ⁢c2 ⁢d+c ⁢d2 ⁢a+d ⁢a2 ⁢b
であることを証明せよ.
(ⅲ) a ,b ,c ,d が正の実数で
a4+ b4+ c4+ d4= a⁢b2 ⁢c+ b⁢c2 ⁢d+c ⁢d2 ⁢a+d ⁢a2 ⁢b
ならば a= b=c= d であることを証明せよ.
1998-12441-0105
【3】 初項が 1998 , 第 100 項が 1305 である等差数列 {an } がある.
(ⅰ) 公差 d と一般項 an を求めよ.
(ⅱ) 初項から第 n 項までの和が最大になるような n を求めよ.
(ⅲ) an が 2 桁の自然数となるような an は全部でいくつあるか.
1998-12441-0106
数学I・数学B
【2】 ▵ABC の辺 BC を三等分する点を, B に近い方から D ,E とする. AD の中点を G , AE を 1: 2 に内分する点を H とし, GH と AC の交点を I とするとき,比 AI: IC を求めよ.
1998-12441-0107
【3】 方程式 x2 +x+ 1=0 の解の 1 つを α , 方程式 x 4+x 3+x 2+x +1=0 の解の 1 つを β とする.
(ⅰ) α3= 1, β5= 1 を示せ.
(ⅱ) γ=α ⁢β とするとき, γ14 +γ13 +⋯+ γ+1 の値を求めよ.