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1998 慶応義塾大学 商学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の設問に答えよ.

(1) 関数 y= | x3-6 x2 -3x +8| が, -2x 5 で最大となるのは,

x= +

のときで,最大値は

y= +

である.

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易□ 並□ 難□

【1】 次の設問に答えよ.

(2) 平面上のベクトル a = (2, -1 2 ) b =( 32 ,1 ) がある.これらのベクトルの内積を計算すると,

a a = a b = b b =

である. t を実数とし, c =ta + (1- t) b d =(1 -t) a +t b とするとき,

{ c d = 2910 c c <d d

を同時に満たす t の値は,

t=

である.また内積 c c

t=

のとき最小となり,最小値は

c c =

である.

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【2】  f( x)= (x -a) 2+b が,すべての実数 x について,連立不等式

{ f( x) -3x +1 f( x) x-4

を満たしているとする.このとき,点 (a ,b) の動ける範囲を,条件式を明示して図示せよ.

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【3】 数列 { an} を,漸化式

an+ 2=- 1 6 a n+1 + 16 a n

によって定める.

(1) 一般に b n+2 =A bn+ 1+B bn の形をした漸化式から,数列 { bn } の一般項を求めるには, A=α +β B =-α β を同時に満たす α β を求め,漸化式を

bn+ 2-α bn +1= β( bn+ 1-α bn )

の形にする.数列 { an } の一般項をこの方法で求めるには,

{ α=- β= または { α= β =-

とすればよい.

(2) 上で求めた結果を使って, n3 のときの一般項 a n a 1 a 2 によって表せば,

an= 5 { ( 1 ) n- - (- 1 ) n- } a2 + 5 { ( 1 ) n- -( - 1 ) n- }a 1

となる.

(3)  a1= 1 a2 = 13 のとき, 1 an >106 となる最初の n

n=

である.ただし log 103 =0.477 とする.

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【4】  a b c を正の整数とする 2 次関数 y= ax2 +bx +c を考える.この 2 次関数のグラフは x 軸と 2 点で交わり,交点間の距離は 2 である.

(1) この関数のグラフと x 軸で囲まれる部分の面積 S を,定積分により求めると

S= a

である.計算の過程は,解答用紙の所定の位置に記入せよ.

(2)  S=4 となる a b c の組のなかで, a+b+ c の値が最小になるのは,

a= b= c=

である.

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