1998　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】

(1)　点$(p,q)$は放物線$C:y=x^2-4x+2$の上を移動する．$t=q-2|p|$としたとき，$t$の最小値は$t_0=\boxed{\text{ア}}$である．$t_0<t\leqq 2$のとき，直線$y=2|x|+t$と$C$で囲まれる部分の面積$S(t)$は

$S(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}{(\sqrt{t+\boxed{\text{エ}}})}^{\boxed{\text{オ}}}$

である．

【１】

(2)　三辺の長さが$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=3$の直角三角形$▵\mathrm{ABC}$がある．この三角形の外部に三点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$をとり，$▵{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{BC}\text{，}▵{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{CA}\text{，}▵{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{AB}$が$▵\mathrm{ABC}$に重ならない正三角形となるようにする．このとき，

${({\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime })}^2+{({\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime })}^2-2{({\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime })}^2=\boxed{\text{カ}}$

である．

【２】　$h$次の整式$f_h(x)$を

$f_0(x)=1\text{，}{f}_h(x)={\displaystyle \frac{x(x-1)(x-2)\cdots (x-h+1)}{h!}}\text{（}h=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，すべての$n$次以下の整式$f$に対して，適当な数列$c_0\text{，}{c}_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$が存在して

$f(x)=c_0{f}_0(x)+c_1{f}_1(x)+\cdots +c_n{f}_n(x)$

と書くことができる．次の問に答えなさい．

(ⅰ)　

$x^3-x+1=f_0(x)+\boxed{\text{ア}}{f}_1(x)+\boxed{\text{イ}}{f}_2(x)+\boxed{\text{ウ}}{f}_3(x)$

(ⅱ)　$4$次以下の整式$f(x)$で

$f(0)=1\text{，}f(1)=1\text{，}f(2)=1\text{，}f(3)=4\text{，}f(4)=5$

を満たすものは

${\displaystyle \frac{1}{6}}(-\boxed{\text{エ}}{x}^4+\boxed{\text{オ}}{x}^3-\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}})$

である．

【３−１】　一匹のカメが座標平面上を$x$軸あるいは$y$軸に平行に移動する．第$n$段で到達する点を${\mathrm{P}}_n=(a_n,b_n)$としたとき

・第$1$段は${\mathrm{P}}_0=(0,0)$から${\mathrm{P}}_2=(1,0)$へ移動する．

・第$2$段は${\mathrm{P}}_2=(1,0)$から$(1,-1)$へ移動する．

・第$3$段は${\mathrm{P}}_2=(1,-1)$から$(0,-1)$を通り，${\mathrm{P}}_3=(0,-2)$へ移動する．

・一般に第$n$段（$n\geqq 2$）は${\mathrm{P}}_{n-1}$を始点として出発する．このとき，出発の方向は${\mathrm{P}}_{n-1}$へ到達する直前の向きを時計回りに$90\mathrm{°}$変えた方向であり，${\mathrm{P}}_{n-1}$からの歩き方は，${\mathrm{P}}_{n-1}$から${\mathrm{P}}_0$へ来た道をたどって戻る歩き方と同じとする．

　このとき次の問に答えなさい．

(ⅰ)　${\mathrm{P}}_n$までのカメの移動した道のりは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}^n$

である．

(ⅱ)　${\mathrm{P}}_6$までカメが移動したとき，$a_n$の最大値は$\boxed{\text{オ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．また$b_n$の最大値は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【３−２】　以下の空欄に適切な解答を，最後の選択肢から選びその番号を解答欄に記入しなさい．ただし，${\displaystyle \sum _{n=1}^t}{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_t$である．

　$n$個の数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$が与えられたとき，その平均$m$は

$m={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i$

で与えられる．また分散$d$を

$d={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(x_i-m)}^2$

と定義すれば

$\begin{array}{ll}d& ={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(x_i-m)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}({x_i}^2-2m{x}_i+m^2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x_i}^2-\boxed{\text{ケ}}{m}^2\end{array}$

となる．

以下のプログラムは$1$個以上の正の数を次々と読み込み，その平均 M と分散 D を求めるプログラムである．ただし，入力された数が$0$または負ならば，結果を印刷してプログラムを終了する．

• 110 REM 正の数の平均と分散を求める．
• 120 N=0
• 130 S=0
• 140 SS= $\boxed{\text{コ}}$
• 150 INPUT X
• 160 IF X $\boxed{\text{サ}}$ 0 THEN GOTO $\boxed{\text{シ}}$
• 170 S=S + $\boxed{\text{ス}}$
• 180 SS=SS + $\boxed{\text{セ}}$ * $\boxed{\text{ソ}}$
• 190 N=N + $\boxed{\text{タ}}$
• 200 GOTO $\boxed{\text{チ}}$
• 210 M=S/N
• 220 D=SS/N - $\boxed{\text{ツ}}$ * $\boxed{\text{テ}}$
• 230 PRINT " 平均は " ; "分散は " ; D
• 240 END

選択肢

• (11)　0
• (12)　1
• (13)　2
• (14)　3
• (15)　4
• (16)　110
• (17)　120
• (18)　130
• (19)　140
• (20)　150
• (21)　160
• (22)　170
• (23)　180
• (24)　190
• (25)　200
• (26)　210
• (27)　220
• (28)　230
• (29)　240
• (30)　M
• (31)　N
• (32)　S
• (33)　SS
• (34)　D
• (35)　X
• (36)　=<
• (37)　<
• (38)　>=
• (39)　>
• (40)　=

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の五つの交換機があり，この順に直列に接続されている．いま一日に一回$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$へ情報が伝達される．ただし，各交換機は一日あたり${\displaystyle \frac{1}{10}}$の確率で故障し，情報は消滅する．故障した交換機は当日で回復し，回復後も故障の確率は変わらない．

(ⅰ)　ある日に$\mathrm{E}$から情報を得られない確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{{10}^{\boxed{\text{イ}}}}}$

である．

(ⅱ)　$\mathrm{C}$の交換機を改良し，$\mathrm{C}$が故障したとき$\mathrm{B}$に情報を保存し，翌日その情報を再び送る．このとき$\mathrm{B}$は故障しないとして，当日または故障した日の翌日に一日目の情報を$\mathrm{E}$から得る確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{{10}^{\boxed{\text{エ}}}}}$

である．

【５】　曲線$C$が二つの$2$次関数$f(t)\text{，}g(t)$によって

$x=f(t)\text{，}y=g(t)\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

と表されている．$t=t_0$における$C$上の点を$\mathrm{P}(x_0,y_0)$としたとき$\mathrm{P}$を通る直線

$y-y_0=m(x-x_0)\text{（}m\ne 0\text{）}$

が$C$に接するとき

$g^{\prime }(t_0)=m{f}^{\prime }(t_0)$

が成立する．このとき次の問に答えなさい．

(ⅰ)　$f(t)=t^2\text{，}g(t)=-t^2+3t-1$のとき，点$(1,1)$における$C$の接線は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(ⅱ)　平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2)$とする．曲線$C$は$t=0\text{，}t=1$のとき，それぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を通り，その点において接線$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$を持つ．このとき

$f(t)=\boxed{\text{オ}}{t}^2+\boxed{\text{カ}}t\text{，}$

$g(t)=-\boxed{\text{キ}}{t}^2+\boxed{\text{ク}}t$

であり，$x\text{，}y$は

$9x^2+6xy+y^2-\boxed{\text{ケ}}x+\boxed{\text{コ}}y=0$

を満たす．また$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$C$の交点の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})$

である．