1998　上智大学　地球法，外国語MathJax

【１】　関数

$|4x-{\displaystyle \frac{25}{2}}|+|2x+{\displaystyle \frac{9}{2}}|$

は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$をとる．

$|2^{z+3}-25|+|2^{z+2}+9|=32$

をみたす$z$の値は，$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{カ}}$である．ただし$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{カ}}$とする．

【２】　$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$の範囲で関数

$f(\theta )=\cos 2\theta +a\sin \theta$

を考える．ただし，$\alpha >0$とする．

　$f(\theta )$の最大値は

$\begin{array}{rlll}0<a& \leqq \boxed{\text{キ}}& \text{のとき}& {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{a}^2+\boxed{\text{コ}}\\ \boxed{\text{キ}}\leqq a& & \text{のとき}& \boxed{\text{サ}}{a}^2+\boxed{\text{シ}}a+\boxed{\text{ス}}\end{array}$

である．

　$f(\theta )=0$となる$\theta$の値は

$\begin{array}{rlll}0<a& <\boxed{\text{セ}}& \text{のとき}& \boxed{\text{ソ}}\text{個}\\ a& =\boxed{\text{セ}}& \text{のとき}& \boxed{\text{タ}}\text{個}\\ \boxed{\text{セ}}<a& & \text{のとき}& \boxed{\text{チ}}\text{個}\end{array}$

存在する．

【３】　実数$t$に対して，

$C_t:y=f_t(x)=x^2-2tx+2t^2-2t-3$

は放物線を表す．

(1)　$C_t$の頂点の$y$座標が最小になるのは$t=\boxed{\text{ツ}}$のときである．

(2)　$x$の方程式$f_t(x)=0$が重解をもつのは$t=\boxed{\text{テ}}$または$t=\boxed{\text{ト}}$のときである．ただし$\boxed{\text{テ}}<\boxed{\text{ト}}$とする．

(3)　$x$の方程式$f_t(x)=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつのは$t$が

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}<t<\boxed{\text{ネ}}$

をみたすときである．

(4)　どのような$t\geqq 0$に対しても$C_t$が点$(x,y)$を通らないための条件は次で与えられる．

$x\leqq \boxed{\text{ノ}}$のときは$y<\boxed{\text{ハ}}{x}^2+\boxed{\text{ヒ}}$

$x\geqq \boxed{\text{ノ}}$のときは$y<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}{x}^2+\boxed{\text{ホ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする平面の$2$つの円

$S_1:x^2+{(y-1)}^2=1$

$S_2:x^2+{(y+r)}^2=r^2$

と，$S_1$上の点$\mathrm{P}(0,2)\text{，}{S}_2$上の点$\mathrm{Q}(0,-2r)$を考える．ただし，$r>0$とする．

　$\mathrm{P}$を通る直線$l_1$と，$\mathrm{Q}$を通る直線$l_2$が$x$軸上の点$\mathrm{A}$で交わるとする．

　$l_1$と$S_1$の$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{B}\text{，}{l}_2$と$S_2$の$\mathrm{Q}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

（1)　$\mathrm{OA}=6$のとき，$\mathrm{B}$の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．さらに，$\mathrm{C}$の$y$座標が$-2\sqrt{2}$であれば$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}$または$r=\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}$である．ただし，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}<\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}$とする．

(2)　$\mathrm{B}$の$y$座標が$1$で$\mathrm{C}$の$y$座標が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}r$ならば，$r=\sqrt{\boxed{\text{リ}}}$である．

(3)　$\mathrm{PB}=1$ならば$\mathrm{OA}=\boxed{\text{ル}}\sqrt{\boxed{\text{レ}}}$である．

　さらに，$r=\sqrt{13}$とすれば$\mathrm{QC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{ワ}}}}$である．