1998　上智大学　文(心理)学部MathJax

【１】　$2$つの有理数$x\text{，}y$が方程式

$2x^2-2(2-\sqrt{2})x-(1+\sqrt{2})y=3\sqrt{2}-1$

をみたすならば，

$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$または$x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}y=\boxed{\text{エ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．

【２】(1)　$1$から$5$までのすべての整数を$1$列に並べてできる順列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$とする．このとき，積$a_1{a}_2$が$6$となる順列は全部で$\boxed{\text{オ}}$通りある．また，$a_1+a_2=7$となる順列は全部で$\boxed{\text{カ}}$通りある．

(2)　$1$から$9$までのすべての整数を$1$列に並べてできる順列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_9$とする．このとき，$a_1=1\text{，}{a}_3=3\text{，}{a}_5=5\text{，}{a}_7=7\text{，}{a}_9=9$となる順列は全部で$\boxed{\text{キ}}$通りある．また，$a_1+a_2\text{，}{a}_3+a_4\text{，}{a}_5+a_6\text{，}{a}_7+a_8$がすべて等しくなるとき，$a_9$は$\boxed{\text{ク}}$通りの場合があり，このような順列の総数を$2^a{3}^b$と表すと，$a=\boxed{\text{ケ}}\text{，}b=\boxed{\text{コ}}$となる．

【３】　つぎの$3$つの曲線を考える．

$C:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$

$C_1:{(x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^2+{(y-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$C_2:{(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^2+{(y-3-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$

点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はそれぞれ$C\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2$の上を動くものとし，点$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$とする．

(1)　どのような$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$に対しても$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にないための必要十分条件は，

$\alpha <\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$または$\boxed{\text{ス}}<\alpha <\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$

である．

(2)　どのような$\mathrm{R}$に対しても線分$\mathrm{PR}$が$C_1$と共有点をもつための必要十分条件は，

$\boxed{\text{タ}}+\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}\leqq \alpha \leqq \boxed{\text{テ}}+\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$

である．

(3)　ある$\mathrm{Q}$に対して線分$\mathrm{PQ}$が$C_2$と共有点をもつための必要十分条件は，

$\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}\leqq \alpha$

である．

【４】　正方形$\mathrm{ABCD}$を底面にもち，すべての辺の長さが$2$である$4$角すい$\mathrm{EABCD}$がある．辺$\mathrm{EA}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{EB}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{EP}=\mathrm{EQ}$がみたされるようにとる．$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }$および${\mathrm{Q}}^{\prime }$とし，正方形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\angle \mathrm{PAO}=\boxed{\text{ネ}}\mathrm{°}$である．

(2)　$4$角形$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }\mathrm{Q}$の面積は，$\mathrm{EP}=\boxed{\text{ノ}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$をとる．

(3)　(2)の場合

$\cos \angle \mathrm{POQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

である．