1998　上智大学　経済(経済)2月12日実施MathJax

【１】

(1)　

【１】

(2)　$x^5$を$x^2-x-1$で割った余りは

$\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

である．

　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の異なる$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき

${\alpha }^5+{\beta }^5=\boxed{\text{キ}}$

である．

【２】(1)　実数$a$に対して

$C_a:y-a^2={(x-a)}^2$

は放物線を表す．

　特に$a=\boxed{\text{ク}}$のとき$C_a$は点$(4,8)$を通る．

　$a$が実数全体を動くとき，これらの放物線が動く範囲は

$y\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{x}^2+\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}$

である．

(2)　同様に実数$b\text{，}c$に対して

$D_{b,c}:y+{(b-1)}^2-c=-{(x-b)}^2$

も放物線である．$c$が一定で$b$が実数全体を動くとき，これらの放物線が動く範囲は

$y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{x}^2+\boxed{\text{ソ}}x+\boxed{\text{タ}}c+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

(3)　$C_a$と$D_{b,c}$がどのような$a\text{，}b$に対しても共有点をもたないための必要十分条件は

$c<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

【３】(1)

${\log }_{9}3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}{\log }_{\frac{1}{7}}49=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}{3}^{2{\log }_{3}2}=\boxed{\text{ネ}}$

【３】(2)　$a\text{，}b$は実数とし，$a<1$とする．

$f(x)=3^{3x}-(1+a)3^{2x+1}+4a{3}^{x+1}+b$

とおく．$f(x)$は$x={\log }_3\boxed{\text{ノ}}$で極小値

$M=\boxed{\text{ハ}}a+\boxed{\text{ヒ}}b+\boxed{\text{フ}}$

をもつ．$M$が最小値となるための必要十分条件は

$a\boxed{\text{あ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\cdots \text{①}$

である．$\boxed{\text{あ}}$は解答用紙の選択肢より選べ．

　$\text{①}$をみたす任意の$a$について$M\leqq 0$となる必要十分条件は$\boxed{\text{い}}$である．

　$\text{①}$をみたすある$a$について$M\leqq 0$となる必要十分条件は$\boxed{\text{う}}$である．$\boxed{\text{い}}\text{，}\boxed{\text{う}}$については次の選択肢より$1$つずつ選んで番号で答えよ．