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1998-13363-0801
1998 上智大学 理工学部
数・物理・電気電子工学科
易□ 並□ 難□
【1】 0 以上の実数に対して定義され,以下の性質を満たす関数 f を考える.
f⁡( x)= { -4⁢ x+5 ,0≦ x≦1 のとき 13 ⁢ f⁡( x2 ) ,x >1 のとき
このとき, f⁡( 73 ) = ア イ となる. m を任意の 0 以上の整数とすれば, 2m< x≦2 m+1 のとき
f⁡( x)= 1 3m+ 1 ⁢( ウ ⁢ x2m +1 + エ )
となるので,
∫ 2m 2m+ 1 ⁡f⁡( x)⁢ dx= ( オ カ ) m+1
となる.このことから
limm→ ∞⁡ ∫ 12m ⁡f⁡ (x) ⁢dx= キ
であることがわかる.
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【2】 xy 平面内で点 P (x ,y) が時刻 t の関数として,
{ x=sin ⁡2⁢t y= sin⁡3⁢ t
に従って運動している. t= π6 における速度の大きさは ク であり, t= π4 における速度の大きさは ケ コ ⁢ サ である.
0<t< 2⁢π において,この点の速度の大きさが最大になるときの時刻は t = シ ス ⁢ π である.また,そのときの速度の大きさは セ である.
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【3】 y=| x⁢( 2-x) | で表される xy 平面上の曲線を C とする.
(1) y=a⁢ x-4 (ただし, a は定数)で表される直線を l a とおく. C と l a が共通点をもたないのは
ソ <a< タ
のときである.
(2) y=b⁢ x (ただし, b は定数)で表される直線を m b とおく. mb が C と 3 点で交わるのは
チ <b< ツ
のときである. b がこの条件を満たすとき, mb と C の交点を x 座標の小さい方から順に P , Q , R とおく.線分 PQ と C によって囲まれる図形の面積を S1 , 線分 QR と C によって囲まれる図形の面積を S 2 とおく. S1= S2 が成り立つ条件は, b が次の方程式の解になることである.
(b + テ ) 3= ト
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数・物理学科
【4】 複素数 z= x+i⁢ y の表す点 (x ,y) を P とするとき, P⁡ (x+ i⁢y ) と書く.複素数平面の原点から実軸上正の方向へ 1 だけ進んだ点を P1 ⁡(1 ) とする.進行方向を左へ 60 ° 変え 12 だけ進んだ点を P 2⁡ ( 5 +3⁢ i4 ) とし,さらに進行方向を左へ 60 ° 変え 14 だけ進んだ点を P3 ⁡( ナ + ニ ⁢ 3⁢i ヌ ) とする.ただし, i2= -1 である.以下同様に P4 , P 5 ,⋯ を 60 ° ずつ方向を左へ変え,進む長さも半分ずつにして得られる点列とする.このとき,点 P n の y 座標は, n を大きくすると, ネ ⁢ 3 ノ に近づく.
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電気電子学科
【4】 複素数 z を z= r⁢( cos⁡θ+ i⁢sin⁡ θ) ,r≧0 とするとき, θ を z の偏角といい, arg⁡z で表す.
(1) 実数 k は 8- 2⁢15 <k<8 +2⁢15 を満たし,複素数 z は
z2+ (2+ k)⁢ z+5⁢ k=0 (*)
を満たすとする.このとき arg⁡ z+arg⁡ (z+ 2+k) を求めよ.
(2) 実数 k が 8 -2⁢ 15<k <8+2 ⁢15 の範囲を動くとき(*)を満たす複素数 z のなす集合を複素数平面上に描け.