1998 東京理科大学 薬学部MathJax

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1998 東京理科大学 薬学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問題文中に, 0 から 99 までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている.空欄に当てはまる整数を求めて(ア)から(ト)に適する 0 から 9 までの数字を解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい.

  3 つの放物線

y=x2 +ax +b y=x2 +cx +d y=-x 2+e x-3

に対して以下のような 3 つの条件を課せば,定数 a b c d e が決定される.

(条件1)放物線 は点 ( 2,-5 ) を通るものとする.

 そのとき 2 a+b =- (ア) となり, の頂点の y 座標は

-1 (イ) a 2- (ウ) a- 9

である.従って,この頂点と x 軸との距離は a =- (エ) のとき最小となり,その値は (オ) である.

(条件2)放物線 は直線 x =-1 に関して放物線 と対称とする.

 そのとき

a+c= (カ) -a 2+ (キ) b= -c2 + (ク) d

となる.

(条件3)放物線 は点 ( 12 , 1) に関して放物線 と対称とする.

 そのとき ( 12 ,1 ) の頂点を結ぶ線分の中点であることから

e=a+ (ケ) a 2- (コ) b+ (サ) (シ) = e2

となる.

 よって,上の(条件1),(条件2),(条件3)が同時に満たされれば

a=- (ス) (セ) b=c = (ソ) (タ)

d= (チ) (ツ) e=- (テ) (ト)

が得られる.

1998 東京理科大学 薬学部

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 次の問題文中に, 0 から 99 までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている.空欄に当てはまる整数を求めて(ア)から(ソ)に適する 0 から 9 までの数字を解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい.

(1) 点 P( x,y) が次の連立不等式の表す領域

{ 3x -y- 3x -2y 4 2x+ y8 x+3 y9

を動くとき x +y x- y の最大,最小について考える.

  x+y x = (ア) y = (イ) のとき最大となり,その最大値は (ウ) である.また x +y が最小となるのは x=- (エ) y=- (オ) のときで,その最小値は - (カ) である.

 他方, x-y x = (キ) y = (ク) のとき最大となり,その最大値は (ケ) である.また x -y が最小となるのは x = (コ) y= (サ) のときで,その最小値は - (シ) である.

 さらに,上の領域の面積は (ス) (セ) (ソ) である.

(2) 点 P ( x,y ) 2 つの円

(x -2) 2+ y2= 4

(x -4- 2) 2+ y2=2

の周上および内部を動くものとすれば, x+3 y

x= (ア) + (イ) (ウ) 2 y= 12 (エ)

のとき最大となり,その最大値は (オ) + (カ) (キ) である.また, x-3 y x = (ク) y= (ケ) のとき最小となり,その最小値は - (コ) である.

  2 直線

x+3 y= (オ) + (カ) (キ)

x-3 y=- (コ)

の交点の x 座標, y 座標はそれぞれ

1+ 32 (サ) (シ) + 12 (ス)

だから,この 2 直線と x 軸とで作る三角形の面積は

12 ( (セ) 3+ (ソ) 6 )

となる.

1998 東京理科大学 薬学部

配点15点

易□ 並□ 難□

【3】 次の問題文中に, 0 から 99 までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている.空欄に当てはまる整数を求めて(ア)から(ソ)に適する 0 から 9 までの数字を解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい.

 平面上に原点 O 3 A B C を定める. ABC においては AB =4 CA= 3 BAC= 90° となっているものとする. ABC の内心を I とするとき

OI =α OA+ βOB +γ OC

となる α β γ が定まることを以下のようにして示す.

  BAC の二等分線が辺 BC と交わる点を P とすると BPPC= (ア) (イ) である.従って,ベクトル間の等式

(ウ) OP = (エ) OB + (オ) OC

が成立する.次に, ABC の二等分線を引くと,それが線分 PA と交わる点が内心 I で, ABP で上と同様に考えると PIIA= (カ) (キ) となることがわかる.これから

OI =OP + (ク) (ケ) (コ) PA

であり, により

OI = (サ) (シ) (ス) OA +1 (セ) OB + 1 (ソ) OC

が得られる.

1998 東京理科大学 薬学部B方式

配点15点

易□ 並□ 難□

【4】 次の問題文中に, 0 から 9 までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている.空欄に当てはまる整数を求めて(ア)から(ソ)に適する 0 から 9 までの数字を解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい.

 整式 f n( x) n=0 1 2

f0 (x) =1 f1 (x )=x

fn (x )=f n-1 ( x) fn- 2( x)+ fn-2 ( x) n2

によって帰納的に定める.まず

f2 (x) = (ア) x+ (イ)

f3 (x )= (ウ) x2+ (エ) x+ (オ)

である.次に, f0 (x )=1 f1 (0) =0 f2 (0 )= (カ) fn (x ) の決め方から,

f2 n (0 )= (キ) f2 n+1 (0 )= (ク)

となる.

  2 つの整式 f (x ) g (x ) の積の微分法の公式

f (x) g( x) =f (x )g (x )+f (x )g (x )

に従って, fn (x ) を計算してみるとわかるように

f2 n (0) = (ケ) f2 n-1 ( 0)+ (コ) f2 n-2 (0 ) n 1

であるが, f2 n+1 ( 0)= (サ) f2 n-1 ( 0)= (シ) n なので

f2 n (0 )= (コ) f2 n-2 ( 0)+ (ス) n-1 = (セ) n - (ソ) n 1

が求まる.

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