1998　東京理科大学　工学部(工業化，経営工，機械工学科)MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を解答用マークカードにマークせよ．

(1)　異なる$2$つの整式

$P(x)=x^2+x-\boxed{\text{ア}}$

と

$Q(x)=x^2-\boxed{\text{ア}}x+1$

は，ともに$1$次式$x-\boxed{\text{イ}}$で割り切れる．このとき，整式

$x^3+\boxed{\text{ウ}}{x}^2-\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$

は$P(x)\text{，}Q(x)$で割り切れる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を解答用マークカードにマークせよ．

(2)　空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(2,2,-1)\text{，}\mathrm{C}(1,2,3)$があるとき，以下の問いに答えよ．

(a)　単位ベクトル

$\overrightarrow{k}=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}})$

は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である．

(b)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とすると

$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(c)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{サ}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を解答用マークカードにマークせよ．

(3)　曲線$C:y=e^x$を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．

　$a_1=1$に対して，点$(a_1,e^{a_1})$における$C$の接線を$l_1$とし，$l_1$と$x$軸との交点を$(a_2,0)$とする．さらに点$(a_2,e^{a_2})$における$C$の接線を$l_2$とし，$l_2$と$x$軸との交点を$(a_3,0)$とする．このような操作で，次々と，$a_n$および接線$l_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を定めてゆくと，$n=12$のとき

$a_{12}=-\boxed{\text{ア}\text{イ}}$

である．

　曲線$C$と接線$l_n$および直線$x=a_{n+1}$とで囲まれた領域の面積を$S_n$とすると，

${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}e}}$

であり，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k={\displaystyle \frac{(e-\boxed{\text{エ}})e}{\boxed{\text{オ}}(e-\boxed{\text{カ}})}}$

である．

【２】

$f(x)=|x^2-2x|+|2x-1|$

$g(x)=ax+{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{（}a\geqq 0\text{）}$

とおいたとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の極値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフとの共有点の個数は，$a$の値によってどのように変わるか調べよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$9$個の小石が図１のように$3$行，$3$列に並んでいる．この$9$個の中から$6$個だけ取り除き，各行，各列にそれぞれ小石が奇数個ずつ残るようにしたい．取り除く小石の行番号，列番号の組合せを考えると，取り除き方は何通りあるか．どのように取り除くかをすべて図示せよ．ただし図示するときは必ず図２のように枠を示し，取り除く所に×印をつけよ．

(2)　今度は$25$個の小石が，$5$行，$5$列に並んでいる．この$25$個の中から$6$個だけ取り除き，各行，各列にそれぞれ小石が奇数個残るようにしたい．

(a)　$1$つの行に注目したとき，その行から取り除くことのできる小石の個数は最大いくつか．

(b)　取り除く小石の行番号，列番号の組合せを考えると，取り除き方は何通りあるか．

(3)　$n$を$3$以上の奇数とする．$n$行，$n$列に並んだ$n^2$個の小石の中から$6$個だけ取り除き，各行，各列にそれぞれ小石が奇数個ずつ残るようにしたい．取り除く小石の行番号，列番号の組合せを考えると，取り除き方は何通りあるか．