1999　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕　関数$y=2\cos 3x$の周期のうち正で最小のものは$\boxed{\text{アイウ}}°$である．$0°\leqq x\leqq 360°$のとき，関数$y=2\cos 3x$において，$y=2$となる$x$は$\boxed{\text{エ}}$個，$y=\mathrm{-2}$となる$x$は$\boxed{\text{オ}}$個ある．

　また，$y=\sin x$と$y=2\cos 3x$のグラフより，方程式

$\sin x=2\cos 3x$

は$0°\leqq x\leqq 360°$のとき$\boxed{\text{カ}}$個の解をもつことがわかる．

【１】

〔２〕　実数$x$に対して，$y=5\cdot 3^x+2\cdot 3^{-x}\text{，}$$z=5\cdot 3^x-2\cdot 3^{-x}$とおくと

$y^2-z^2=\boxed{\text{キク}}$

である．

　$z=0$となるのは

$3^x=\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}}$

のときであり，$y$は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}({\log }_3\boxed{\text{ス}}-{\log }_3\boxed{\text{セ}})$

のとき最小値$\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}$をとる．

【２】　放物線$y=-x^2+2x$を$C_1$とし，$C_1$上に点$\mathrm{P}(a,-a^2+2a)$をとる．ただし，$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．

(1)　$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$l_1$の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})x+a^{\boxed{\text{エ}}}$

である．原点$\mathrm{O}$における$C_1$の接線を$l_2$とすると，$l_1$と$l_2$との交点$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}},\boxed{\text{キ}})$である．

(2)　直線$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}{l}_2$および$C_1$で囲まれた図形の面積$S_1$は

$S_1={\displaystyle \frac{a^{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$

である．

(3)　放物線$y=p{x}^2+qx+r$を$C_2$とする．$C_2$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通るとき$p=\boxed{\text{サシ}}\text{，}$$q=a+\boxed{\text{ス}}\text{，}$$r=\boxed{\text{セ}}$となる．

　このとき$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S_2$は

$S_2={\displaystyle \frac{a^{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．したがって

$S_2=\boxed{\text{チ}}{S}_1$

が成り立つ．

【３】　$a$を正の実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-1},0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,\mathrm{-2})$をとり

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2-{\mathrm{CP}}^2=a$

を満たす点$\mathrm{P}$の表す図形$K$を考える．

(1)　$K$は中心$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$，半径$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$の円である．

(2)　点$\mathrm{C}$が円$K$の内部にあるのは

$a>\boxed{\text{エオ}}$

のときである．

(3)　$\mathrm{AQ}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CQ}$を満たす点$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}},\boxed{\text{ク}})$であり，円$K$が$\mathrm{Q}$を通るのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のときである．

(4)　$a=16$とする．点$\mathrm{C}$と$K$上の点$\mathrm{P}$との距離が最小になるのは$\mathrm{P}$の座標が${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}},\frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}})}$のときである．

【４】　関数$f(x)=x^2-4x-5$に対して，$g(x)=3{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt$とおく．$y=g(x)$の表す曲線を$C$とする．

(1)　$g(x)=x^3-\boxed{\text{ア}}{x}^2-\boxed{\text{イウ}}x+\boxed{\text{エオ}}$である．

(2)　関数$g(x)$は$x=\boxed{\text{カキ}}$のとき極大値$\boxed{\text{クケ}}$をとり，$x=\boxed{\text{コ}}$のとき極小値$\boxed{\text{サシス}}$をとる．

(3)　傾きが$a$である$C$の接線が$1$本だけ存在するのは，$a=\boxed{\text{セソタ}}$のときである．このとき，接点の座標は$(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツテト}})$であり，接線の方程式は$y=\boxed{\text{ナニヌ}}x+\boxed{\text{ネノ}}$である．

【３】　$a$を正の実数とする．三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が

$5\overrightarrow{\mathrm{PA}}+a\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{a+\boxed{\text{イ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{ウ}}}{a+\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

が成り立つ．

　直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{BC}$を$1:8$に内分するならば，$a=\boxed{\text{オ}}$となり，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる．このとき，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AD}$を$\boxed{\text{ケ}}:\boxed{\text{コ}}$に内分する．

　さらに，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{6}$ならば

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{サ}}$

である．したがって

${|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シスセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$

となる．

【４】　実数係数の方程式

$x^3+a{x}^2+bx+c=0\cdots \text{①}$

が$x=2$を解にもつとする．このとき

$c=-\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}}b-\boxed{\text{ウ}}$

であり

$x^3+a{x}^2+bx+c=(x-2)$$\times \{x^2+(a+\boxed{\text{エ}})x+\boxed{\text{オ}}a+b+\boxed{\text{カ}}\}$

となる．

$\text{①}$の解を$2\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$とし，複素数平面において$3$点$2\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$が正方形の異なる三つの頂点になっているとする．さらに，この正方形の一辺の長さが$5\sqrt{2}$で，$\alpha \text{，}$$\beta$の実部が負であるならば，$\alpha \text{，}$$\beta$は

$\boxed{\text{キク}}\pm \boxed{\text{ケ}}i$

である．このとき

$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{サシ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{スセソ}}$

となる．

【５】　座標平面上に$9$個の点

• ${\mathrm{P}}_1(0,2)$
• ${\mathrm{P}}_2(1,2)$
• ${\mathrm{P}}_3(2,2)$
• ${\mathrm{P}}_4(0,1)$
• ${\mathrm{P}}_5(1,1)$
• ${\mathrm{P}}_6(2,1)$
• ${\mathrm{P}}_7(0,0)$
• ${\mathrm{P}}_8(1,0)$
• ${\mathrm{P}}_9(2,0)$

をとる．袋の中に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_9$と書かれた$9$個の玉が入っている．

　この袋から$2$個の玉を取り出すとき，取り出した$2$個の玉に書かれている$2$点に対し，その距離の$2$乗を$X$とする．

(1)　$X=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$X=5$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(3)　$X=8$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(4)　確率変数$X$は$\boxed{\text{ク}}$通りの値をとり，その平均（期待値）は$\boxed{\text{ケ}}$であり，分散は$\boxed{\text{コ}}$である．

【６】　整数$15$は次のように連続した二つ以上の正の整数の和として表すことができる．

$15=1+2+3+4+5$$=4+5+6=7+8$

　$1$より大きい整数$n$について，これを連続した二つ以上の正の整数の和で表すことができるかどうかを調べるプログラムを次のように作った．

• 110 INPUT "n =";N
• 120 FOR J = 1 TO N - 1
• 130 W = 0
• 140 FOR K = J TO N
• 150  PRINT K;
• 160  W = W + K
• 170  IF W > N THEN PRINT "No" : GOTO 200
• 180  IF W = N THEN PRINT "Yes" : GOTO 200
• 190 NEXT K
• 200 NEXT J
• 210 END

(1)　このプログラムを実行し，n = ? に対して$10$を入力すると，新たに表示される最初の$2$行は

$\boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}$ Yes

$\boxed{\text{オ}}\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}\boxed{\text{ク}}$ No

となる．

(2)　n = ? に対して$21$を入力すると， Yes が$\boxed{\text{ケ}}$回，No が$\boxed{\text{コサ}}$回表示される．

(3)　$2$から$9$までの数を n として，このプログラムを実行する．このとき， Yes が$1$回も表示されない  n を小さい順に書くと$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$である．