1999　大学入試センター試験　追試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$2$次関数

$y=a{x}^2+bx-a^2+12a+12$

は$x=4$で最大値をとるものとし，そのグラフを$C$とする．このとき

$b=-\boxed{\text{ア}}a$

が成り立つ．

(1)　この$2$次関数の最大値が$7$となるとき

$a=\boxed{\text{イウ}}$

である．このとき，グラフ$C$が$x$軸と交わる$2$点と，$C$が表す放物線の頂点で作られる三角形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

(2)　グラフ$C$が点$(3,8)$を通るとき

$a=-\boxed{\text{ク}}$

である．このとき，$C$を$y$軸に関して対称移動したグラフは，頂点の座標が$(\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サシ}})$の放物線である．

【１】

〔２〕　右図のような街路があり，隣り合う二つの曲がり$\stackrel{\text{かど}}{\text{角}}$の間の距離はすべて$1$である．甲君は曲がり角$\mathrm{A}$から，乙君は曲がり角$\mathrm{B}$から出発し，次のように道を進むものとする．曲がり角ごとにおのおのがさいころを同時に振り出た目の数

$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$

に応じてそれぞれ

東，東，西，南，北，北

の方向に$1$だけ進む．ただし，出た目の数に応ずる方向に道がない場合は，その反対方向に$1$だけ進むものとする．例えば，曲がり角$\mathrm{E}$で$3$の目が出たら，東に$1$だけ進む．

(1)　甲君が$\mathrm{A}$から出発し，$2$回さいころを振って$\mathrm{C}$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，$4$回さいころを振って$\mathrm{D}$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

(2)　甲君と乙君がそれぞれ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から同時に出発し，$2$回さいころを振って出会わない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$である．また，$3$回さいころを振って初めて$\mathrm{E}$で出会う確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌネノ}}}}$である．

【２】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$は

$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=1\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=60°$

を満たすとする．このとき

$\angle \mathrm{CDA}=\boxed{\text{アイウ}}°\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\text{，}$$\mathrm{AD}=\boxed{\text{オ}}$

である．また，円$O$の半径は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}}{3}}$

であり

$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}}{14}}$

である．さらに

$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であり，三角形$\mathrm{BCD}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

である．

【３】　$1$から$8$までの$8$個の整数から互いに異なる$6$個を選んで，平面上の正六角形の各頂点に$1$個ずつ配置する．ただし，平面上でこの正六角形をその中心の回りに回転させたとき移りあうような配置は同じとみなす．

(1)　$1$から$8$までの$8$個の整数から互いに異なる$6$個を選ぶ方法は$\boxed{\text{アイ}}$通りである．

(2)　上のような配置は$\boxed{\text{ウエオカ}}$通りある．

(3)　$1$と$8$が正六角形の中心に関して点対称な位置に置かれているような配置は$\boxed{\text{キクケ}}$通りである．

(4)　中心に関して点対称な位置にある$2$個の数の和がどれも$9$になるような配置は$\boxed{\text{コサ}}$通りある．

【２】

〔１〕

(1)　二つの整式

• $A=x^4-14x^3+a{x}^2-249x+325$
• $B=x^2-bx+18$

を考える．$B^2$を計算すると

$B^2=x^4-\boxed{\text{ア}}b{x}^3$$+(b^2+\boxed{\text{イウ}})x^2$$-\boxed{\text{エオ}}bx+324$

となる．$C=A-B^2$とおくとき，$C$が$x$についての$1$次式になるのは$a=\boxed{\text{カキ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ク}}$のときで，このとき，$C=\boxed{\text{ケ}}x+1$である．

【２】

〔１〕

(2)　二つの関数

$f(x)=x^2-6x+13\text{，}$$g(x)=4x-4$

を考える．正の整数$n$で，$f(n)\leqq g(n)$を満たすものは全部で$\boxed{\text{コ}}$個ある．このうち，$f(n)$が$g(n)$の約数になるような$n$は小さい順に$\boxed{\text{サ}}$と$\boxed{\text{シ}}$で，いずれのときも

${\displaystyle \frac{g(n)}{f(n)}}=\boxed{\text{ス}}$

である．

【２】

〔２〕　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$は

$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=1\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=60°$

を満たすとする．このとき

$\angle \mathrm{CDA}=\boxed{\text{セソタ}}°\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\text{，}$$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ツ}}$

である．

　また

$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}}{14}}$

であり

$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

である．

【３】

(1)　初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列$\{a_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．

　このとき

$S_{10}=\boxed{\text{ア}}(\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}d)$

である．ここで

$S_{10}=\mathrm{-5}\text{，}$$S_{16}=8$

が成り立つとき

$a=\boxed{\text{エオ}}\text{，}$$d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

であり，また，$S_1\text{，}$$S_2\text{，}\cdots \text{，}$$S_{100}$の中で最小の値は$\boxed{\text{クケ}}$である．

【３】

(2)　初項$15\text{，}$公比$2$の等比数列を$\{b_n\}$とし，正の整数$n$を$4$で割ったときの余りを$c_n$とする．このとき

$c_1+c_2+\cdots +c_{40}=\boxed{\text{コサ}}$

$b_1{c}_1+b_2{c}_2+\cdots +b_{40}{c}_{40}=\boxed{\text{シス}}(2^{\boxed{\text{セソ}}}-1)$

である．

【４】　長方形$\mathrm{ABCD}$は

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=3$

を満たすとする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がそれぞれ$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$上を関係

$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BQ}=3\cdots \text{①}$

を満たしながら動く．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$から$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{RE}$を下ろす．また$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{F}$とする．

　次の文中の$\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウエ}}$については，当てはまる文字を$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{F}$のうちから選べ．ただし，アとイ，ウとエについては，解答の順序を問わない．

　点$\mathrm{R}$の軌跡を調べよう．

${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{ER}}=\frac{\sqrt{3}}{\boxed{\text{アイ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{ER}}=\frac{\sqrt{3}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$

である．したがって，$\text{①}$から

${\mathrm{ER}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}-{\mathrm{EF}}^2$

である．ゆえに

$\mathrm{FR}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

となり，$\mathrm{R}$の軌跡は$\mathrm{F}$を中心とする円の弧であり，その長さは

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$

である．

【５】　次のプログラムは自然数$A$に対して，その平方根を近似する分数${\displaystyle \frac{B}{C}}$を求めるものであり，ここでは${\displaystyle \frac{B}{C}}$の代わりに$B$と$C$を並べて出力している．

• 100 INPUT A
• 110 B = 0
• 120 C = 1
• 130 B = B + 1
• 140 IF B*B < A THEN GOTO 130
• 150 PRINT B; "," ; C
• 160 FOR D = 1 TO 4
• 170 C = 2*C
• 180 B = 2*B - 1
• 190 IF B*B < A*C*C THEN B = B + 1
• 200 PRINT B; "," ; C
• 210 NEXT D
• 220 END

(1)　$2$を入力したとき

$\boxed{\text{ア}}\text{，}$	1
$\boxed{\text{イ}}\text{，}$	2
$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$	4
$\boxed{\text{エオ}}\text{，}$	8
$\boxed{\text{カキ}}\text{，}$	16

と出力される．

(2)　$5$を入力したとき

$\boxed{\text{ク}}\text{，}$	1
$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$	2
$\boxed{\text{コ}}\text{，}$	4
$\boxed{\text{サシ}}\text{，}$	8
$\boxed{\text{スセ}}\text{，}$	16

と出力される．

(3)　第$150$行で表示される$B$の値は$\boxed{\text{ソ}}$である．$\boxed{\text{ソ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものを選べ．

• $\overline{)\text{0}}A$の$2$乗が$n$以上となる最大の整数$n$
• $\overline{)\text{1}}n$の$2$乗が$n$以上となる最小の整数$n$
• $\overline{)\text{2}}A$の$2$乗が$n$より大きくなる最大の整数$n$
• $\overline{)\text{3}}n$の$2$乗が$A$より大きくなる最小の整数$n$