1999　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$4$次関数

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

は次の条件を満たす．

イ)　曲線$y=f(x)$は点$(0,3)$を通り，$y$軸に対して対称である．

ロ)　$f(x)$は極大値と極小値をもち，極大値と極小値の差は$1$である．

ハ)　曲線$y=f(x)$は$x$軸と$2$点で交わり，$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{64}{5}}$である．

　以下の問に答えよ．

(1)　$a$を$c$で表せ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

【２】　$2$曲線$y=x^2\cdots \text{①}\text{，}y=\log (x-p)+q\cdots \text{②}$は，点$(1,1)$において共通の接線をもつ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$p$および$q$の値を求めよ．さらに，$x>p$のとき$x^2\geqq \log (x-p)+q$が成り立つことを証明せよ．

(2)　曲線$\text{①}\text{，}\text{②}$および$x$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【３】　$x\text{，}y\text{，}z$が$x+y+z\geqq 3$を満たすとき，

$x^2+y^2+z^2\geqq x+y+z$

が成り立つことを証明せよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は，すべての自然数$n$について$3a_n\ne 2a_{n+1}$かつ

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_n{a}_{n+1}}{3a_n-2a_{n+1}}}$

を満たす．$a_1=1\text{，}{a}_2=a$とするとき，一般項$a_n$を求めよ．

【５】　空間の$2$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,1,-1)$に対して，点$\mathrm{P}(x_1,y_1,z_1)$は点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\mathrm{OA}$の球上にあり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角は$60°$である．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x_1$がとる値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}(1,0,0)$の距離$\mathrm{PQ}$が最小であるとき，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線$l$は$x$軸と交わることを示し，その交点の座標を求めよ．

【６】　$z_0=1+i\text{，}{z}_1=a-i\text{，}{z}_2=(b+2)+bi$，（$a\text{，}i$は実数，$i$は虚数単位）とする．

(1)　複素数平面上で$3$点$z_0\text{，}{z}_1\text{，}{z}_2$が$1$直線上にあるとき，$a$を$b$で表せ．

(2)　$3$点$z_0\text{，}{z}_1\text{，}{z}_2$を頂点とする三角形が正三角形であるように，$z_1\text{，}{z}_2$を定めよ．

【７】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数であり，$bc=1$を満たす．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$(A-E)(A^2-3A+E)=O$を満たす．ここで，$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(1)　$a+d\ne ad$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$a$および$d$の値を求めよ．

【８】　$3$つの円$x^2+{(y-4)}^2=1\cdots \text{①}\text{，}{x}^2+y^2=1\cdots \text{②}\text{，}{(x-6)}^2+{(y-2)}^2=9\cdots \text{③}$を考える．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は次の条件を満たすように同時に動き始める．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$は$(0,3)$を出発点として，$\text{①}$上を毎分$1$回の割合で負の向きに一定の速度で回転する．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}$は$(0,1)$を出発点として，$\text{②}$上を毎分$1$回の割合で正の向きに一定の速度で回転する．

(ⅲ)　点$\mathrm{R}$は$(6,-1)$を出発点として，$\text{③}$上を毎分$1$回の割合で正の向きに一定の速度で回転する．

　ここで，回転の向きは，時計の針の回転と反対向きを正の向き，時計の針の回転と同じ向きを負の向きということにする．

　以下の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}(x,y)$の軌跡を$x$と$y$の式で表せ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$が直角二等辺三角形となる時刻を出発の$t$秒後とするとき，$t$の値をすべて求めよ．ただし，$0\leqq t<60$とする．