1999　筑波大学　前期MathJax

【１】　$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{x-e^{x-1}}{1+e^x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)={(1+e^x)}^2{f}^{\prime }(x)$とおくとき，$\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$を求めよ．必要ならば，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$を用いてよい．

(2)　$f(x)$はただ$1$つの極値をもち，さらにそれが極大値であることを示せ．

【２】　水を満たした半径$2$の半球形の容器がある．これを静かに$\alpha °$傾けたとき，水面が$h$だけ下がり，こぼれた水の量と容器に残った水の量の比が$11:5$になった．$h$と$\alpha$を求めよ．

【３】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\sin tdt\text{，}$$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\cos tdt$

と定める．このとき，$x\geqq 0$における$f(x)$の最大値と$g(x)$の最小値を求めよ．

【４】　実数を成分とする行列$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\text{，}$$\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$に対して，

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{12}\end{array}\right)\#\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}\end{array}\right)$

と定める．また，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right)\#\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -4& 2\end{array}\right)$を求めよ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 4& 3\end{array}\right)$について，$A\#X=E$を満たす$2$次正方行列$X$を求めよ．

(3)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，

$P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}^n& k_{n}b\\ k_{n}c& d^n\end{array}\right)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．ただし，

$k_1=1\text{，}{k}_n=a^{n-1}+a^{n-2}d$$+\cdots +a{d}^{n-2}+d^{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．このとき，$P_{n+1}=P\#P_n$が成り立つことを示せ．

(4)　(3)において$P_4=E$ならば，$P_2=E$であることを示せ．

【５】　$xy$平面上において，点$\mathrm{A}(2,0)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}$における$C$の接線に原点$\mathrm{O}(0,0)$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．図のように$x$軸と線分$\mathrm{AQ}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は$-\pi <\theta \leqq \pi$を動くものとする．

(1)　点$\mathrm{P}(x,y)$の座標$(x,y)$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$の$x$座標が最小となるとき，$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$を求めよ．

(3)　直線$x=k$が点$\mathrm{P}$の軌跡と相異なる$4$点で交わるとき，$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

【６】　$\mathrm{A}$工場の$\mathrm{B}$製品の長さは，標準偏差$\sigma$が$0.66(cm)$の正規分布に従い，平均$m$は季節によって異なる．ある季節に$\mathrm{B}$製品を$n$個無作為に抽出し，測定した長さを$X_1\text{，}{X}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$とする．次頁の正規分布表を用いて，次の問いに答えよ．なお，標本平均は，平均$m\text{，}$分散${\sigma }^2/n$の正規分布に従うことが知られている．

(1)　$n=4$のとき，平均$m$に対する信頼度$95\%$の信頼区間が$m+\sigma$を含む確率を求めよ．

(2)　$n=9$のとき，$X_1\text{，}{X}_2\text{，}$$\cdots \text{，}{X}_9$の測定値が次のようになった．

$90.27\text{，}90.11\text{，}91.22\text{，}90.46\text{，}90.29\text{，}91.54\text{，}$$91.67\text{，}$$90.01\text{，}$$90.19(cm)$

　このとき，平均$m$に対する信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．

【７】　関数$f(x)=2x^3-3a{x}^2+6(a-2)x$（$a$は定数）の極値$v$をコンピュータで計算する方法について，次の問いに答えよ．

(1)　近似的に$v$を計算するプログラムは，ニュートン法を利用して次のように書ける．

定数$a$および適当な値$x_0\text{，}n$を入力したとき，$v$の近似値を$n$個出力するように，空白の$50\text{，}60$行を補ってプログラムを完成させよ．

(2)　(1)のプログラムに$x_0>{\displaystyle \frac{a}{2}}$を満たす$x_0$を入力する．このときの出力を順に$f(x_1)\text{，}f(x_2)\text{，}\cdots \text{，}f(x_n)$とする．ただし，$x_k$は$k$回目の反復における X の値を表す．極小値$v$に対して

$f(x_1)\geqq f(x_2)\geqq \cdots \geqq f(x_n)\geqq v$

が成り立つことを示せ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　自然学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第二学群

　人間学類　数学III選択　【１】〜【３】から２題選択

　人間学類　数学C選択　【４】〜【７】から２題選択

　生物学類，生物資源学類,社会工学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第三学群

　国際総合学類　数学III選択【１】〜【３】から２題選択

　国際総合学類　数学C選択【４】〜【７】から２題選択

　情報学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

　工学システム学類，工学基礎学類　【１】，【２】必須，【４】〜【７】から１題選択

医学専門学群

　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択