1999　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　$2$つの円$x^2+y^2=1$と${(x-\sqrt{a})}^2+y^2={\displaystyle \frac{a}{2}}\text{（}a>0\text{）}$が相異なる$2$点で交わるという．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　交点における$2$つの円の接線が直交するような$a$の値を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接している．点$\mathrm{A}$は第$1$象限にあり，辺$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点は$\mathrm{D}(-1,0)$である．

(1)　$\angle \mathrm{OAD}$を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{ODA}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は，実数の定数$k$を用いて，

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=k{a}_n-2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられている．また$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列とする．

(1)　$b_1+b_2+b_3=7$となる実数$k$を求めよ．

(2)　この場合，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とし，$0\leqq m<n\leqq 5$を満たす整数$m\text{，}n$に対して$z={\alpha }^m\text{，}w={\alpha }^n$とおく．

(1)　複素平面上に$\alpha \text{，}{\alpha }^2\text{，}{\alpha }^3\text{，}{\alpha }^4\text{，}{\alpha }^5$を図示せよ．

(2)　$z^2=w^2$となるような組$(m,n)$をすべて求めよ．

(3)　$z^2\ne w^2$であって，$z$と$w$を通る直線が$z^2$と$w^2$を通る直線に直交するような組$(m,n)$をすべて求めよ．