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1999-10221-0201
1999 埼玉大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とし,区間 (- 1,∞ ) において関数 f⁡ (x ) を次のように定める.
f⁡( x)= { x 1-x 2 (- 1<x≦ 0 のとき) a⁢x (0 <x のとき)
ただし, f⁡( x) は x= 0 で微分可能であるものとする.
(1) a を求めよ.
(2) 導関数 f ′⁡ (x ) が x= 0 で微分可能であることを示せ.
(3) f⁡( x) の第 2 次導関数 f ″⁡( x) を求め, y=f″ ⁡( x) のグラフの概形をかけ.
1999-10221-0202
【2】 0<a≦ 1 ,0< b≦1 , 0<c≦ 1 に対して
f⁡( x)= a⁢x2 +b⁢ x+c
とおく.
任意の整数 m に対して f⁡ (m ) が整数となるとき a , b ,c を求めよ.
1999-10221-0203
【3】 実数 a , b ,c ,d に対して
A=( ab cd )
x2- (a+ d)⁢ x+a⁢ d-b⁢ c=0
は異なる複素数解 s+ i⁢t ,s-i ⁢t ( s , t は実数, t>0 ,i= -1 )をもつとし,
s+i⁢ t=r⁢ (cos⁡ θ+i⁢ sin⁡θ ), r>0
と表す.
J= 1t⁢ (A -s⁢I ), I=( 10 0 1)
とおくとき,次の問に答えよ.
(1) J2= -I を示せ.
(2) 自然数 n= 1 ,2 ,3 ,⋯ に対して
An= sn⁢ I+tn ⁢J , ただし s n=r n⁢cos ⁡n⁢θ , tn= rn⁢ sin⁡n⁢ θ
が成り立つことを示せ.
1999-10221-0204
【4】 xyz 空間内の平面 y= 1 上で
(x -1) 2+z 2≦1 , y=1
で表される図形を D とする. D を z 軸のまわりに 1 回転させてできる立体を M とする.
(1) 平面 z= k( -1≦ k≦1 ) による立体 M の切り口を図示し,その面積を求めよ.
(2) 立体 M の体積を求めよ.