1999　埼玉大学　後期(理,工学部)MathJax

【１】　$a$を実数とし，区間$(-1,\infty )$において関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}& \text{（}-1<x\leqq 0\text{のとき）}\\ ax& \text{（}0<x\text{のとき）}\end{array}$

ただし，$f(x)$は$x=0$で微分可能であるものとする．

(1)　$a$を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$が$x=0$で微分可能であることを示せ．

(3)　$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求め，$y=f^{″}(x)$のグラフの概形をかけ．

【２】　$0<a\leqq 1\text{，}0<b\leqq 1\text{，}0<c\leqq 1$に対して

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

とおく．

　任意の整数$m$に対して$f(m)$が整数となるとき$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

とおく．

$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$

は異なる複素数解$s+it\text{，}s-it$（$s\text{，}t$は実数，$t>0\text{，}i=\sqrt{-1}$）をもつとし，

$s+it=r(\cos \theta +i\sin \theta )\text{，}r>0$

と表す．

$J={\displaystyle \frac{1}{t}}(A-sI)\text{，}I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$J^2=-I$を示せ．

(2)　自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$A^n=s_{n}I+t_{n}J\text{，}$ただし$s_n=r^n\cos n\theta \text{，}{t}_n=r^n\sin n\theta$

が成り立つことを示せ．

【４】　$xyz$空間内の平面$y=1$上で

${(x-1)}^2+z^2\leqq 1\text{，}y=1$

で表される図形を$D$とする．$D$を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる立体を$M$とする．

(1)　平面$z=k\text{（}-1\leqq k\leqq 1\text{）}$による立体$M$の切り口を図示し，その面積を求めよ．

(2)　立体$M$の体積を求めよ．