1999 千葉大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A

易□ 並□ 難□

【1】 不等式

x2+ y2- 6x- 4y+ 120

の表す領域 D

ax- 2y+ 2a= 0

で表される直線 l がある.

(1)  D を図示せよ.

(2)  a の値にかかわらず l は定点を通ることを示し,その定点を求めよ.

(3)  l D と共有点をもつとき, a の最大値および最小値を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A

【6】の類題

易□ 並□ 難□

【2】

a1= 1 an 0

an= Sn2 -S n-1 2 n=2 3 4

で与えられる数列 { an} がある.

 ただし, Sn { an} の初項から第 n 項までの和である.

(1)  a2 を求めよ.

(2)  Sn を求めよ.

(3)  an を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A

易□ 並□ 難□

【3】 直線 y= -x と放物線 y= x2+2 x とで囲まれた図形を D とする.

(1)  D の面積 S 1 を求めよ.

(2)  D x 軸の正の方向に m だけ平行移動して,不等式

y-2 x+ 3

の表す領域に含まれるように移す. m の最小値 m 1 を求めよ.

(3)  m1 を(2)で求めた最小値とする. D x 軸の正の方向に m 1 だけ平行移動するとき, D が通過する範囲を図示し,その面積 S 2 を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【4】 複素数平面上で複素数 0 1+i α β の表す点をそれぞれ O P A B とする.三角形 OPA は正三角形,三角形 PAB は直角二等辺三角形で点 B は三角形 OPA の内部にある.

(1) 複素数 α を求めよ.

(2)  α の実部が正のとき,複素数 β を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【5】 複素数平面上に三角形 ABC があり,その頂点 A B C を表す複素数をそれぞれ z1 z 2 z3 とする.複素数 w に対して,

z1= wz3 z2= wz1 z3= wz2

が成り立つとき,次の各問に答えよ.

(1)  1+w+ w2 の値を求めよ.

(2) 三角形 ABC はどんな形の三角形か.

(3)  z=z1 +2 z2+ 3z 3 の表す点を D とすると,三角形 OBD はどんな形の三角形か.ただし, O は原点である.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

【2】の類題

易□ 並□ 難□

【6】

a1= 1 an 0

an= 3( Sn -Sn -1 ) n= 2 3 4

で与えられる数列 { an } がある.ただし, Sn { an } の初項から第 n 項までの和である.

(1)  a2 を求めよ.

(2)  Sn を求めよ.

(3)  an を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【7】(1)  R( θ)= ( cosθ -sinθ sin θcos θ ) とするとき, R( θ) R( θ )=R (θ +θ ) を証明せよ.

(2)  2 つの行列

A=( a 1- a2 a2 a1 ) B= ( b1- b2 b2 b1 )

を考える.ただし, (a1 ,a2 ) ( b1, b2 ) はともに円 x 2+y 2=1 上にあり a1 a 2 b 1 b2 はすべて正の数とする.次の 2 つの等式

A3= B2

AB= ( - 32 - 12 1 2- 3 2 )

が成り立つとき A B を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【8】  n=0 1 2 3 に対し,

fn (x) = sinn xsin x (0 <x π 2)

fn (0) =n

で与えられる関数の列 { fn (x )} I n= 0π 2 fn (x) dx からなる数列 { In} とがある.

(1)  fn (x ) x= 0 で連続であることを示せ.

(2)  In+ 1- In-1 n の式で表せ.

(3)  Sm= k=1 m (- 1) k2 k-1 とするとき, In S m を用いて表せ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【9】  8n3 +40 n 2 n+1 で割り切れるような正整数 n をすべて求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A

易□ 並□ 難□

【10ア】 正の数 p q r が次の 3 条件

(ⅰ)  (p+ 1) (q+ 1) (r+ 1)= 1440

(ⅱ)  (p- 1) (q- 1) (r- 1)= 720

(ⅲ)  p2+ q2+ r2= 507

をみたす.

(1)  pq+ qr+ rp の値を求めよ.

(2)  p q r が素数のとき, p q r の値を求めよ.ただし, pq r とする.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A

【11イ】,【12イ】は同一問題なので略

易□ 並□ 難□

1999年千葉大前期【10イ】の図

【10イ】 座標平面上で x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という.

  0 以上の整数を順に右の図のように x 0 y 0 の範囲の格子点上に配置していく.例えば,整数 7 は座標 ( 1,2 ) に配置される.

(1) 直線 x+ y=k 上に配置されている整数の個数を求めよ.

(2)  0 以上の整数 p を入力したとき, p が配置される座標 ( x,y ) を出力するプログラムの流れ図を作成せよ.



1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

【12ア】は同一問題なので略

易□ 並□ 難□

【11ア】 三辺の長さが OA= 2 OB=3 AB= 7 の三角形 OAB がある. OA の中点を M とし, B を始点とする半直線 BM 上に BP =tBM となる点 P をとり, OA =a OB =b とする.

(1)  OP a b t を用いて表せ.

(2)  a b の内積 a b を求めよ.

(3)  APBM となるとき t の値を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【12ウ】 次のゲームを考える.

最初に A 3 枚, B 2 枚の硬貨を投げ,

A が投げた硬貨の表の枚数の 2 倍を A の得点,

B が投げた硬貨の表の枚数の 3 倍を B の得点

とする.

得点の多い方を勝ちとし,同点の場合は引き分けとする.引き分けた場合には, A 2 枚, B 1 枚の硬貨を投げ,

A が投げた硬貨の表の枚数の 3 倍を A の得点,

B が投げた硬貨の表の枚数の 6 倍を B の得点

とする.

得点の多い方を勝ちとし,同点の場合は引き分けとする.

(1) 最初の硬貨投げでの A の得点の平均と分散を求めよ.

(2) 最初の硬貨投げで A が勝つ確率を求めよ.

(3) このゲームで A が勝つ確率を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【13ア】 四面体 OABC において

OA=3 OB=4 OC=6

AOB= BOC=COA =60 °

とする. OA t: 1-t の比に内分する点を D OA =a OB =b OC =c とするとき,次の問に答えよ.

(1) ベクトル DB DC a b c を用いて表せ.

(2)  BDC=θ としたとき cos θ t の式で表せ.

(3) 三角形 BDC の面積の最小値を求めよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【13イ】(1)  f( x) 2 次式のとき, ab f( x) dx を, a b f( a) f ( a+b 2) f (b ) で表す式を導け.

(2) 次の(ⅰ),(ⅱ)のいずれかを選択して答えよ.

(ⅰ)  I=2 12 (x 2+ 1x2 ) dx の計算を区分的に 2 次式で近似するため(1)で導いた公式を用いる.区間 1 x2 n 個の区間に等分割したときの I の近似値を I n と書く.誤差 | I1- I| および | I2- I| を小数第 5 位を四捨五入し,小数第 4 位まで求めよ.

(ⅱ) (1)で求めた公式を用いて,区間 a xb n 等分して,

I= ab f x) dx

を近似計算するプログラムの流れ図を作成せよ.

1999 千葉大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【13ウ】 袋の中に赤玉 4 個,白玉 2 個がはいっている.元にもどさないで, 1 回に 1 個ずつ取り出していく.赤玉または白玉のどちらかの玉をすべて取り出すまでの回数を X とする.

(1)  x の最小値とその値を取る確率を求めよ.

(2)  X の最大値とその値を取る確率を求めよ.

(3)  X の平均を求めよ.

志望別問題選択一覧

数学I,II,A

 教育学部 小学校教員養成課程,中学校教員養成課程,理科・家庭科専攻,養護学校教員養成課程,幼稚園教員養成課程 【1】【2】【3】必須,【10ア】【10イ】から1題選択

数学I,II,A,B

 文学部 行動科学科,教育学部 中学校教員養成課程,技術科専攻,法経学部 【2】【3】【4】必須,【11ア】【11イ】から1題選択

 園芸学部 【2】【3】【4】必須,【12ア】【12イ】【13ウ】から1題選択

数学I,II,III,A,B,C

 理学部 生物学科,地球科学科,工学部Aコース 都市環境システム学科,デザイン工学科

  【2】【3】【5】【7】必須,【12ア】【12イ】【12ウ】から1題選択

 理学部 物理学科,化学科,医学部,薬学部,工学部Aコース 電子機械工学科,情報画像学科,物質工学科

  【5】【6】【7】【8】必須,【13ア】【13イ】【13ウ】から1題選択

 教育学部・中学教員養成課程 数学科専攻 【1】【3】【5】【7】【8】必須,【13ア】【13イ】【13ウ】から1題選択

 理学部 数学・情報数理学科

  【5】【6】【7】【8】【9】必須,【13ア】【13イ】【13ウ】から1題選択

inserted by FC2 system