1999　東京大学　前期MathJax

【１】(1)　一般角$\theta$に対して$\sin \theta \text{，}\cos \theta$の定義を述べよ．

(2)　(1)で述べた定義にもとづき，一般角$\alpha \text{，}\beta$に対して

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \text{，}$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

を証明せよ．

【２】　次の$2$つの条件(a)，(b)を同時に満たす複素数$z$全体の集合を複素数平面上に図示せよ．

(a)　$2z\text{，}{\displaystyle \frac{2}{z}}$の実部はいずれも整数である．

(b)　$|z|\geqq 1$である．

【３】　$c$を$c>{\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たす実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2$を$A$とし，直線$y=x-c$に関して$A$と対称な放物線を$B$とする．点$\mathrm{P}$が放物線$A$上を動き，点$\mathrm{Q}$が放物線$B$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$c$を用いて表せ．

【４】(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$の各辺はそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で電流を通すものとする．このとき，頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

(2)　(1)で考えたような$2$つの四面体$\mathrm{ABCD}$と$\mathrm{EFGH}$を図のように頂点$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$でつないだとき，頂点$\mathrm{B}$から$\mathrm{F}$に電流が流れる確率を求めよ．

【２】　複素数$z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$z_1=1\text{，}{z}_{n+1}=(3+4i)z_n+1$

によって定める．ただし$i$は虚数単位である．

(1)　すべての自然数$n$について

${\displaystyle \frac{3\times 5^{n-1}}{4}}<|z_n|<{\displaystyle \frac{5^n}{4}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　実数$r>0$に対して，$|z_n|\leqq r$を満たす$z_n$の個数を$f(r)$とおく．このとき，

$\underset{r\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(r)}{\log r}}$

を求めよ．

【３】　$p$を$0<p<1$を満たす実数とする．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$の各辺はそれぞれ確率$p$で電流を通すものとする．このとき，頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

(2)　(1)で考えたような$2$つの四面体$\mathrm{ABCD}$と$\mathrm{EFGH}$を図のように頂点$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$でつないだとき，頂点$\mathrm{B}$から$\mathrm{F}$に電流が流れる確率を求めよ．

【４】　$xyz$空間において$xy$平面上に円板$A$があり$xz$平面上に円板$B$があって以下の$2$条件を満たしているものとする．

(a)　$A\text{，}B$は原点からの距離が$1$以下の領域に含まれる．

(b)　$A\text{，}B$は一点$\mathrm{P}$のみを共有し，$\mathrm{P}$はそれぞれの円周上にある．

　このような円板$A$と$B$の半径の和の最大値を求めよ．ただし，円板とは円の内部と円周をあわせたものを意味する．

【５】(1)　$k$を自然数とする．$m$を$m=2^k$とおくとき，$0<n<m$を満たすすべての整数$n$について，二項係数${}_{m}C_n$は偶数であることを示せ．

(2)　以下の条件を満たす自然数$m$をすべて求めよ．

条件：$0\leqq n\leqq m$を満たすすべての整数$n$について二項係数${}_{m}C_n$は奇数である．

【６】　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x{\sin }^{2}xdx>8$であることを示せ．ただし，$\pi =3.14\cdots$は円周率，$e=2.71\cdots$は自然対数の底である．