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1999 横浜国立大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x) =ax 2+( 5-a2 ) x-2 について,次の問いに答えよ.

(1) 異なる 2 つの実数 x 1 x 2 について,つねに

f ( x1) +f( x2) 2< f( x1+ x22 )

となるための定数 a についての条件を求めよ.

(2) (1)の条件が満たされているとする.

g( t)= (t- 1) f( t+1) +(t +1) f( t-1)

で定義される関数 g (t ) が, -1<t <0 0< t<1 でひとつずつ極値をとるための定数 a についての条件を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  x 軸上を移動する点 P がある. P は原点から出発し,サイコロを 1 回投げるごとに, 1 2 の目が出たら正の方向に 1 進み, 3 以上の目が出たら正の方向に 2 進む.サイコロを 7 回投げたとき,次の確率を求めよ.

(1)  P が途中で x= 3 に立ち寄る確率

(2)  P が途中で x= 6 に立ち寄る確率

(3)  P が途中で x= 3 にも x= 6 にも立ち寄る確率

(4)  P が途中で x= 3 にも x= 6 にも立ち寄らない確率

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易□ 並□ 難□

【3】 実数 a が与えられたとき, x+y a を満たす x y に対して,

-x2 -y2 +2y +2y

がとる最大値を f (a ) とする.次の問いに答えよ.

(1)  f( a) を求めよ.

(2)  b=f (a ) のグラフを ab 平面上に描け.

(3)  ab 平面上で b= f( a) と直線 b= 0 直線 a= c で囲まれる領域の面積が 272 となるとき, c の値を求めよ.

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【4】 曲線 y= x2 上に異なる 2 P Q をとり, P での接線と Q での接線の交点の座標を ( a,b ) とする. b<0 であるとき,直線 PQ y =x2 で囲まれる領域のうちで x 0 の部分の面積を S とし, x0 の部分の面積を T とする.次の問いに答えよ.

(1) 点 P Q x 座標を a b で示せ.

(2)  S-T a b で表せ.

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